习题2.1 导数的概念

1. 填空题

【题目】

1. 设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{h}=$ ____；

2. 设 $f'(x_{0}) = -1$ ，则 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x_{0}) - f(x_{0} + x)} =$ ____ ;

3. 曲线 $y = x - \frac{1}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 ____，法线方程为 ____；

4. 曲线 $y = x - \ln x$ 在点 ____ 处具有水平切线.

【解析】

1. 拆项利用导数定义：

   $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{[f(x_0 + h) - f(x_0)] - [f(x_0 - h) - f(x_0)]}{h}$$
   $$= \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} + \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 - h) - f(x_0)}{-h} = f'(x_0) + f'(x_0) = 2f'(x_0)$$

2. 将式子变形为导数差商定义的倒数形式：

   $$\lim_{x\to 0}\frac{x}{f(x_0) - f(x_0 + x)} = \lim_{x\to 0}\frac{-1}{\frac{f(x_0 + x) - f(x_0)}{x}} = \frac{-1}{f'(x_0)} = \frac{-1}{-1} = 1$$

3. 当 $x = 1$ 时，$y = 1 - \frac{1}{1} = 0$，切点坐标为 $(1, 0)$。 求导数：$y' = 1 + \frac{1}{x^2}$。在 $x = 1$ 处的切线斜率 $k = y'(1) = 1 + 1 = 2$。

   • 切线方程：$y - 0 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 2$；
   • 法线斜率 $k_N = -\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}$，法线方程：$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}(x - 1)$。

4. 水平切线意味着导数等于 0：

   $$y' = 1 - \frac{1}{x} = 0 \implies x = 1$$

   当 $x = 1$ 时，$y = 1 - \ln 1 = 1$。 故曲线在点 (1, 1) 处具有水平切线。

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2. 函数在点处的导数讨论

【题目】

讨论 $y = |\sin x|$ 在 $x = 0$ 点的可导性.

【解析】

根据导数的单侧导数定义，考察在 $x = 0$ 处的左右导数：

• 右导数：当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x > 0$，$|\sin x| = \sin x$， $$f'_+(0) = \lim_{x\to 0^+}\frac{|\sin x| - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x} = 1$$
• 左导数：当 $x \to 0^-$ 时，$\sin x < 0$，$|\sin x| = -\sin x$， $$f'_-(0) = \lim_{x\to 0^-}\frac{|\sin x| - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0^-}\frac{-\sin x}{x} = -1$$

因为左导数与右导数不相等（$-1 \neq 1$），所以函数 $y = |\sin x|$ 在 $x = 0$ 处不可导。

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3. 分段函数可导性与参数确定

【题目】

已知函数 $f(x) = \begin{cases} x, & x \leq 1 \\ ax^2 + b, & x > 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处可导，求 $a, b$ ，并求出 $f'(1)$ .

【解析】

函数在 $x = 1$ 处可导的前提是必须在 $x = 1$ 处连续：

1. 连续性条件：

   $$f(1) = 1,\quad \lim_{x\to 1^-} f(x) = 1,\quad \lim_{x\to 1^+} f(x) = a(1)^2 + b = a + b$$

   由连续性得：$a + b = 1$。

2. 可导性条件：

   • 左导数： $$f'_-(1) = \lim_{x\to 1^-}\frac{x - 1}{x - 1} = 1$$
   • 右导数： $$f'_+(1) = \lim_{x\to 1^+}\frac{(ax^2 + b) - 1}{x - 1}$$ 将 $b = 1 - a$ 代入分子：$(ax^2 + 1 - a) - 1 = a(x^2 - 1) = a(x - 1)(x + 1)$。 $$f'_+(1) = \lim_{x\to 1^+}\frac{a(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x\to 1^+} a(x + 1) = 2a$$ 由于在 $x = 1$ 处可导，必有 $f'_-(1) = f'_+(1)$： $$2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$$ 代入连续性方程得： $$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

因此，$a = \frac{1}{2},\ b = \frac{1}{2},\ f'(1) = 1$。

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4. 分段函数的导函数求解

【题目】

设函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{3} x^3, & x \leq 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$ ，求 $f'(x)$ .

【解析】

1. 当 $x < 1$ 时：

   $$f'(x) = \left(\frac{2}{3}x^3\right)' = 2x^2$$

2. 当 $x > 1$ 时：

   $$f'(x) = (x^2)' = 2x$$

3. 考察分界点 $x = 1$ 处的连续性与可导性：

   • 函数值：$f(1) = \frac{2}{3}(1)^3 = \frac{2}{3}$；
   • 右极限：$\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} x^2 = 1$。 因为 $\lim_{x\to 1^+} f(x) = 1 \neq f(1) = \frac{2}{3}$，所以函数在 $x = 1$ 处不连续。 由于可导必连续，函数在 $x = 1$ 处不连续，故在 $x = 1$ 处导数不存在。

综上所述：

$$f'(x) = \begin{cases} 2x^2, & x < 1, \\ \text{不存在}, & x = 1, \\ 2x, & x > 1. \end{cases}$$ docs