习题3.7 曲率
1. 填空题
【题目】
1）曲线 $y=2x^{2}-3x+4$ 的弧微分 ds=____;
2）椭圆 $4x^{2}+y^{2}=4$ 在点(0,2)处的曲率为 ____.
【解析】
导数 $y' = 4x - 3$。 由弧微分公式 $ds = \sqrt{1 + (y')^2}dx$：
$$ds = \sqrt{1 + (4x - 3)^2}dx = \sqrt{1 + 16x^2 - 24x + 9}dx = \sqrt{16x^2 - 24x + 10}dx$$椭圆方程两边对 $x$ 求导：
$$8x + 2yy' = 0 \implies y' = -\frac{4x}{y}$$在点 $(0, 2)$ 处，$y'(0) = 0$。 两边继续求导：
$$8 + 2(y')^2 + 2yy'' = 0 \implies 8 + 0 + 2(2)y'' = 0 \implies 4y'' = -8 \implies y'' = -2$$曲率公式为：
$$K = \frac{|y''|}{\left[1 + (y')^2\right]^{\frac{3}{2}}} = \frac{|-2|}{(1 + 0)^{\frac{3}{2}}} = 2$$
2. 求解下列各题
【题目】
1）求正弦曲线 $y = \sin x$ 在点 $(\frac{\pi}{2}, 1)$ 处的曲率与曲率半径；
2）问曲线 $y = \ln x$ 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.
【解析】
求导数：
$$y' = \cos x,\quad y'' = -\sin x$$在点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 处：
$$y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0,\quad y''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1$$曲率：
$$K = \frac{|y''|}{\left[1 + (y')^2\right]^{\frac{3}{2}}} = \frac{|-1|}{(1 + 0)^{\frac{3}{2}}} = 1$$曲率半径：
$$R = \frac{1}{K} = 1$$曲线 $y = \ln x$（$x > 0$）：
$$y' = \frac{1}{x},\quad y'' = -\frac{1}{x^2}$$曲率：
$$K = \frac{\left|-\frac{1}{x^2}\right|}{\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{x^2}}{\left(\frac{x^2 + 1}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}$$曲率半径最小等价于曲率 $K$ 最大。对 $K(x)$ 关于 $x$ 求导：
$$K'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} - x \cdot \frac{3}{2}(x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} \cdot 2x}{(x^2 + 1)^3} = \frac{(x^2 + 1)^{\frac{1}{2}}[(x^2 + 1) - 3x^2]}{(x^2 + 1)^3} = \frac{1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^{\frac{5}{2}}}$$令 $K'(x) = 0 \implies 1 - 2x^2 = 0$。因 $x > 0$，驻点为 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$。 当 $0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $K' > 0$；当 $x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $K' < 0$。因此 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 为曲率的极大值点（最大值点）。 此时对应纵坐标为 $y = \ln\frac{\sqrt{2}}{2}$。即点为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\frac{\sqrt{2}}{2})$。 此时的最大曲率：
$$K_{\max} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\left(\frac{1}{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}$$最小曲率半径为：
$$R_{\min} = \frac{1}{K_{\max}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$