习题3.5 函数的极值与最大值最小值
1. 填空题
【题目】
1）函数 $y = x^{3} - 3x$ 的极大值点为 ____，极大值为 ____；
2）函数 $y = x + 2 \cos x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的最小值为 ____，最大值为 ____.
【解析】
- 求导数：$y' = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$。驻点为 $x = -1$ 和 $x = 1$。 求二阶导数：$y'' = 6x$。
- 在 $x = -1$ 处，$y''(-1) = -6 < 0$，取极大值，极大值为 $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2$；
- 在 $x = 1$ 处，$y''(1) = 6 > 0$，取极小值。 因此极大值点为 -1，极大值为 2。
- 求导数：$y' = 1 - 2\sin x$。 在开区间 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内令 $y' = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}$。 计算驻点及闭区间端点处的函数值：
- 左端点：$y(0) = 0 + 2\cos 0 = 2$；
- 驻点：$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} + 2\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \approx 0.5236 + 1.732 = 2.2556$；
- 右端点：$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + 2\cos\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$。 比较可知，最小值为 $\frac{\pi}{2}$，最大值为 $\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$。
2. 已知极值点求参数
【题目】
设函数 $y = x^3 + ax^2 + bx + 2$ 在 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = 2$ 处取得极值，试确定 $a$ 与 $b$ 的值.
【解析】
求导数：$y' = 3x^2 + 2ax + b$。 因为函数在 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = 2$ 处取得极值，且多项式处处可导，由费马引理知 $x_1, x_2$ 必为导函数的零点：
$$\begin{cases} y'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 0 \\ y'(2) = 3(2)^2 + 2a(2) + b = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2a + b = -3 \\ 4a + b = -12 \end{cases}$$两式相减：$2a = -9 \implies a = -\frac{9}{2}$。 代入得：$b = -3 - 2\left(-\frac{9}{2}\right) = -3 + 9 = 6$。 检验：$y' = 3x^2 - 9x + 6 = 3(x - 1)(x - 2)$，导数在 $x = 1$ 和 $x = 2$ 两侧均变号，确为极值点。 因此：$a = -\frac{9}{2}, b = 6$。
3. 三角函数的极值
【题目】
求函数 $f(x)=\sin x+\cos x$ 的极值.
【解析】
利用辅助角公式化简：
$$f(x) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$求一阶、二阶导数：
$$f'(x) = \cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$$$f''(x) = -\sin x - \cos x = -\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$令 $f'(x) = 0 \implies \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$：
$$x + \frac{\pi}{4} = k\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = k\pi + \frac{\pi}{4}\ (k \in \mathbb{Z})$$- 当 $x = 2k\pi + \frac{\pi}{4}$ 时，$f''\left(2k\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{2} = -\sqrt{2} < 0$，取极大值： $$f\left(2k\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$$
- 当 $x = 2k\pi + \frac{5\pi}{4}$ 时，$f''\left(2k\pi + \frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{2} = \sqrt{2} > 0$，取极小值： $$f\left(2k\pi + \frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$$
4. 几何极值应用题
【题目】
将长为 $a$ 米的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和最小？
【解析】
设围成正方形的铁丝长为 $x$ 米（$0 \leq x \leq a$），则围成圆形的铁丝长为 $(a - x)$ 米。
- 正方形的边长为 $\frac{x}{4}$，面积为 $S_1 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$；
- 圆形的半径为 $r = \frac{a - x}{2\pi}$，面积为 $S_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a - x}{2\pi}\right)^2 = \frac{(a - x)^2}{4\pi}$。
总面积函数为：
$$S(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(a - x)^2}{4\pi},\quad x \in [0, a]$$求导数：
$$S'(x) = \frac{2x}{16} - \frac{2(a - x)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{a - x}{2\pi} = \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{2\pi}\right)x - \frac{a}{2\pi} = \frac{\pi + 4}{8\pi}x - \frac{a}{2\pi}$$令 $S'(x) = 0$：
$$\frac{\pi + 4}{8\pi}x = \frac{a}{2\pi} \implies x = \frac{4a}{\pi + 4}$$求二阶导数：$S''(x) = \frac{\pi + 4}{8\pi} > 0$，说明驻点为唯一的极小值点，也是区间 $[0, a]$ 内的最小值点。
此时：
- 围成正方形的铁丝长度为 $\frac{4a}{4 + \pi}$ 米；
- 围成圆形的铁丝长度为 $a - x = a - \frac{4a}{4 + \pi} = \frac{a\pi}{4 + \pi}$ 米。