习题3.3 泰勒公式
1. 泰勒公式展开（拉格朗日余项）
【题目】
求 $f(x) = \sqrt{x}$ 按 $(x - 4)$ 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 3 阶泰勒公式.
【解析】
计算 $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ 及其各阶导数在 $x_0 = 4$ 处的值：
- $f(x) = x^{\frac{1}{2}} \implies f(4) = 2$；
- $f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \implies f'(4) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$；
- $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} \implies f''(4) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = -\frac{1}{32}$；
- $f'''(x) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{2}} \implies f'''(4) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{32} = \frac{3}{256}$；
- 四阶导数：$f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}x^{-\frac{7}{2}}$。
代入带有拉格朗日型余项的 3 阶泰勒展开式：
$$f(x) = f(4) + f'(4)(x - 4) + \frac{f''(4)}{2!}(x - 4)^2 + \frac{f'''(4)}{3!}(x - 4)^3 + \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x - 4)^4$$计算各系数：
- 0阶：$2$；
- 1阶：$\frac{1}{4}(x - 4)$；
- 2阶：$\frac{-\frac{1}{32}}{2}(x - 4)^2 = -\frac{1}{64}(x - 4)^2$；
- 3阶：$\frac{\frac{3}{256}}{6}(x - 4)^3 = \frac{1}{512}(x - 4)^3$；
- 余项：$\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x - 4)^4 = \frac{-\frac{15}{16}\xi^{-\frac{7}{2}}}{24}(x - 4)^4 = -\frac{15}{4! \cdot 16\xi^{\frac{7}{2}}}(x - 4)^4$。
因此：
$$\sqrt{x} = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) - \frac{1}{64}(x - 4)^2 + \frac{1}{512}(x - 4)^3 - \frac{15}{4! \cdot 16\xi^{\frac{7}{2}}}(x - 4)^4$$其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 4 之间。
2. 麦克劳林公式展开（佩亚诺余项）
【题目】
求函数 $y = xe^{x}$ 的带有佩亚诺型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式.
【解析】
已知指数函数的麦克劳林展开式为：
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^{n-1}}{(n - 1)!} + o(x^{n-1})$$两边同乘 $x$：
$$x e^x = x\left[1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^{n-1}}{(n - 1)!} + o(x^{n-1})\right]$$$$= x + x^2 + \frac{x^3}{2!} + \frac{x^4}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{(n - 1)!} + o(x^n)$$3. 利用泰勒公式求极限
【题目】
利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^2[x + \ln(1 - x)]}$ .
【解析】
展开分母： 已知 $\ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$。 分母为：
$$x^2[x + \ln(1 - x)] = x^2\left[x - x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right] = -\frac{1}{2}x^4 + o(x^4)$$分母的主部为 $-\frac{1}{2}x^4$，因此分子需要展开到 $x^4$ 项。
展开分子：
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$$$$e^{-\frac{x^2}{2}} = 1 + \left(-\frac{x^2}{2}\right) + \frac{1}{2!}\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2 + o(x^4) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)$$两式相减：
$$\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}} = \left(\frac{1}{24} - \frac{1}{8}\right)x^4 + o(x^4) = \left(\frac{1 - 3}{24}\right)x^4 + o(x^4) = -\frac{1}{12}x^4 + o(x^4)$$计算极限：
$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^2[x + \ln(1 - x)]} = \lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{12}x^4 + o(x^4)}{-\frac{1}{2}x^4 + o(x^4)} = \frac{-\frac{1}{12}}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{6}$$