习题3.6 函数图形的描绘

1. 求曲线的渐近线

【题目】

求曲线 $y = \frac{x^3}{x^2 + 2x - 3}$ 的渐近线.

【解析】

因式分解分母：$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$。

1. 铅直渐近线： 无定义点为 $x = -3$ 和 $x = 1$。

   • 当 $x \to -3$ 时，分子 $(-3)^3 = -27 \neq 0$，分母趋于 0，故 $\lim_{x\to -3} y = \infty$。$x = -3$ 为铅直渐近线；
   • 当 $x \to 1$ 时，分子 $1^3 = 1 \neq 0$，分母趋于 0，故 $\lim_{x\to 1} y = \infty$。$x = 1$ 为铅直渐近线。

2. 水平与斜渐近线： 多项式长除法化简：

   $$\frac{x^3}{x^2 + 2x - 3} = x - 2 + \frac{7x - 6}{x^2 + 2x - 3}$$

   当 $x \to \infty$ 时：

   $$\lim_{x\to \infty}\frac{y}{x} = \lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{x^3 + 2x^2 - 3x} = 1 = k$$
   $$\lim_{x\to \infty}(y - kx) = \lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^3}{x^2 + 2x - 3} - x\right) = \lim_{x\to \infty}\frac{-2x^2 + 3x}{x^2 + 2x - 3} = -2 = b$$

   故斜渐近线为 $y = x - 2$。

综上所述，渐近线为铅直渐近线 $x = -3$ 和 $x = 1$，斜渐近线 $y = x - 2$。

2. 画出函数的图形草图

【题目】

画出函数 $y = x^{2} + \frac{1}{x}$ 的草图.

【解析】

1. 定义域为 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。
2. 极限与渐近线：
   • 当 $x \to 0^+$ 时，$y \to +\infty$；当 $x \to 0^-$ 时，$y \to -\infty$。铅直渐近线为 $x = 0$；
   • 当 $x \to \pm\infty$ 时，$y \approx x^2$，无水平和斜渐近线。
3. 单调性与极值： $$y' = 2x - \frac{1}{x^2} = \frac{2x^3 - 1}{x^2}$$ 令 $y' = 0 \implies x = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.794$。
   • 当 $x < 0$ 时，$y' < 0$，$y$ 单调递减；
   • 当 $0 < x < \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$ 时，$y' < 0$，$y$ 单调递减；
   • 当 $x > \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$ 时，$y' > 0$，$y$ 单调递增。 在 $x = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$ 处取得极小值，极小值为 $y_{\min} = \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{3}} \approx 1.89$。
4. 凹凸性： $$y'' = 2 + \frac{2}{x^3}$$ 令 $y'' = 0 \implies x = -1$。
   • 当 $x < -1$ 时，$y'' > 0$（凹）；当 $-1 < x < 0$ 时，$y'' < 0$（凸）；当 $x > 0$ 时，$y'' > 0$（凹）。 拐点为 $(-1, 0)$。

3. 列表讨论函数性态

【题目】

列表求函数 $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ 的单调区间、凹凸区间、极值及拐点.

【解析】

1. 求导数：

   $$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$

   令 $y' = 0 \implies x = 0,\ x = 2$。对应函数值 $y(0) = 1, y(2) = -3$。

   $$y'' = 6x - 6 = 6(x - 1)$$

   令 $y'' = 0 \implies x = 1$。对应函数值 $y(1) = -1$。

2. 列表分析：

结论：

• 增区间为 $(-\infty, 0]$ 和 $[2, +\infty)$；减区间为 $[0, 2]$；
• 凹区间为 $[1, +\infty)$；凸区间为 $(-\infty, 1]$；
• 极大值为 $f(0) = 1$；极小值为 $f(2) = -3$；
• 拐点为 $(1, -1)$。