习题3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
1. 填空题
【题目】
1）曲线 $y=2+x-x^{2}$ 在区间 ____ 上单调增加，在区间 ____ 上单调减少；
2）曲线 $y = x^{3} - 5x^{2} + 3x - 5$ 的拐点为 ____；
3）若点(1, 3)为曲线 $y = ax^3 + bx^2$ 的拐点，则 $a =$ ____， $b =$ ____.
【解析】
求导数：$y' = 1 - 2x$。
- 令 $y' > 0 \implies 1 - 2x > 0 \implies x < \frac{1}{2}$，单调增加区间为 $(-\infty, \frac{1}{2}]$；
- 令 $y' < 0 \implies 1 - 2x < 0 \implies x > \frac{1}{2}$，单调减少区间为 $[\frac{1}{2}, +\infty)$。
求二阶导数：
$$y' = 3x^2 - 10x + 3$$$$y'' = 6x - 10 = 0 \implies x = \frac{5}{3}$$当 $x < \frac{5}{3}$ 时 $y'' < 0$；当 $x > \frac{5}{3}$ 时 $y'' > 0$。二阶导数在 $x = \frac{5}{3}$ 处变号。 计算对应函数值：
$$y\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^3 - 5\left(\frac{5}{3}\right)^2 + 3\left(\frac{5}{3}\right) - 5 = \frac{125}{27} - \frac{375}{27} + \frac{135}{27} - \frac{135}{27} = -\frac{250}{27}$$拐点坐标为 $(\frac{5}{3}, -\frac{250}{27})$。
点 $(1, 3)$ 在曲线上：
$$3 = a(1)^3 + b(1)^2 \implies a + b = 3$$点 $(1, 3)$ 是拐点，故在 $x = 1$ 处二阶导数为 0：
$$y' = 3ax^2 + 2bx,\quad y'' = 6ax + 2b$$$$y''(1) = 6a + 2b = 0 \implies 3a + b = 0$$联立方程组：
$$\begin{cases} a + b = 3 \\ 3a + b = 0 \end{cases} \implies 2a = -3 \implies a = -\frac{3}{2},\quad b = \frac{9}{2}$$
2. 证明下列不等式
【题目】
当 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时, $\tan x > x + \frac{1}{3} x^3$ ;
当 $x \geq 0$ 时， $\ln(1 + x) \geq \frac{\arctan x}{1 + x}$ .
【解析】
证明： 设辅助函数 $f(x) = \tan x - x - \frac{1}{3}x^3$，$x \in [0, \frac{\pi}{2})$。 求导数：
$$f'(x) = \sec^2 x - 1 - x^2 = \tan^2 x - x^2 = (\tan x - x)(\tan x + x)$$当 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时，由经典不等式知 $\tan x > x > 0$，所以：
$$\tan x - x > 0,\quad \tan x + x > 0 \implies f'(x) > 0$$因此 $f(x)$ 在 $[0, \frac{\pi}{2})$ 上严格单调递增。 当 $x > 0$ 时，$f(x) > f(0) = \tan 0 - 0 - 0 = 0$。 即：
$$\tan x > x + \frac{1}{3}x^3\quad \left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)$$证毕。
证明： 设辅助函数 $g(x) = (1 + x)\ln(1 + x) - \arctan x$，$x \geq 0$。 求导数：
$$g'(x) = 1 \cdot \ln(1 + x) + (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{1 + x^2} = \ln(1 + x) + 1 - \frac{1}{1 + x^2}$$当 $x > 0$ 时，$\ln(1 + x) > 0$，且 $1 - \frac{1}{1 + x^2} = \frac{x^2}{1 + x^2} > 0$。 所以当 $x > 0$ 时，$g'(x) > 0$，$g(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上严格单调递增。 因此对任意 $x \geq 0$，有 $g(x) \geq g(0) = 1 \cdot \ln 1 - \arctan 0 = 0$。 即：
$$(1 + x)\ln(1 + x) \geq \arctan x \implies \ln(1 + x) \geq \frac{\arctan x}{1 + x}$$证毕。
3. 求函数的单调区间
【题目】
求函数 $y = 2x^{3} - 6x^{2} - 18x - 7$ 的单调区间.
【解析】
求导数：
$$y' = 6x^2 - 12x - 18 = 6(x^2 - 2x - 3) = 6(x - 3)(x + 1)$$令 $y' = 0$，驻点为 $x = -1$ 和 $x = 3$。
- 当 $x < -1$ 时，$y' > 0$；
- 当 $-1 < x < 3$ 时，$y' < 0$；
- 当 $x > 3$ 时，$y' > 0$。
结论： 单调增加区间为 $(-\infty, -1]$ 和 $[3, +\infty)$；单调减少区间为 $[-1, 3]$。
4. 列表求凹凸区间与拐点
【题目】
列表求曲线 $y = \ln(x^{2} + 1)$ 的拐点及凹凸区间.
【解析】
求一阶、二阶导数：
$$y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$$$$y'' = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}$$令 $y'' = 0$，得 $x = -1$ 和 $x = 1$。对应函数值 $y(-1) = y(1) = \ln 2$。
列表分析各区间：
| $x$ | $(-\infty, -1)$ | $-1$ | $(-1, 1)$ | $1$ | $(1, +\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y''$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| 曲线形状 | 凸（$\cap$） | 拐点 $(-1, \ln 2)$ | 凹（$\cup$） | 拐点 $(1, \ln 2)$ | 凸（$\cap$） |
结论：
- 拐点为 $(-1, \ln 2)$ 和 $(1, \ln 2)$；
- 凸区间为 $(-\infty, -1]$ 和 $[1, +\infty)$；
- 凹区间为 $[-1, 1]$。