第七章微分方程 | YHK's life

习题7.1 微分方程的基本概念

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 填空题

【题目】

1）微分方程 $x(y')^{2}-2yy'=0$ 的阶数为 ____；

2）微分方程 $y'y^{(4)}-(y')^{2}=1$ 的阶数为 ____；

3）积分曲线 $xy = C$ 满足的一阶微分方程为 ____；

4）曲线族 $y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-2x}$ 满足 $y(0) = 1$ ， $y'(0) = -2$ 的曲线方程为 ____.

【解析】

方程中出现的最高阶导数为一阶导数 $y'$，故阶数为 1。
方程中出现的最高阶导数为四阶导数 $y^{(4)}$，故阶数为 4。
对方程 $xy = C$ 两边对 $x$ 求导：
$$y + xy' = 0 \implies xy' + y = 0$$
求导数：$y' = C_1 e^x - 2C_2 e^{-2x}$。代入初值条件：
$$\begin{cases} y(0) = C_1 + C_2 = 1 \\ y'(0) = C_1 - 2C_2 = -2 \end{cases}$$
两式相减：$3C_2 = 3 \implies C_2 = 1$。代入得 $C_1 = 0$。因此曲线方程为：
$$y = e^{-2x}$$

2. 验证解

【题目】

验证函数 $y = x \ln x + 1$ 满足微分方程 $x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - x \frac{dy}{dx} + y = 1$ .

【解析】

求一阶、二阶导数：

$$\frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{x}$$

将 $y, y', y''$ 代入方程左边：

$$x^2\left(\frac{1}{x}\right) - x(\ln x + 1) + (x\ln x + 1) = x - x\ln x - x + x\ln x + 1 = 1$$

左边恒等于右边，故函数满足该微分方程。

3. 验证隐函数通解

【题目】

验证由方程 $x^{2}-xy+y^{2}=C$ 确定的隐函数是微分方程 $(x-2y)\frac{dy}{dx}=2x-y$ 的通解（其中 C 为任意常数）.

【解析】

方程两边对 $x$ 隐函数求导：

$$2x - (y + xy') + 2yy' = 0 \implies (2x - y) + y'(2y - x) = 0$$

移项整理：

$$y'(2y - x) = y - 2x \implies y'(x - 2y) = 2x - y$$

即：

$$(x - 2y)\frac{dy}{dx} = 2x - y$$

且解中含有独立的任意常数 $C$，阶数与常数个数相等，故该隐函数为方程的通解。

4. 几何应用建立微分方程

【题目】

已知曲线的任意点处的切线在 $x$ 轴与 $y$ 轴上的截距之和为 2, 求该曲线满足的一阶微分方程.

【解析】

设曲线在任一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $y'$。切线方程为：

$$Y - y = y'(X - x)$$

令 $Y = 0$，解得 $x$ 轴截距：$X = x - \frac{y}{y'}$；
令 $X = 0$，解得 $y$ 轴截距：$Y = y - xy'$。根据题意，截距之和等于 2： $$\left(x - \frac{y}{y'}\right) + (y - xy') = 2$$ 两边同乘 $y'$ 整理： $$x y' - y + y y' - x (y')^2 = 2y' \implies x(y')^2 - (x + y - 2)y' + y = 0$$

习题7.2 可分离变量的微分方程

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 求解下列可分离变量微分方程

【题目】

$xy' - y \ln y = 0;$
$y' = \tan x \tan y;$
$(x y + x ^ {3} y) d y = \left(1 + y ^ {2}\right) d x;$
$y' - xy' = 2(y^{2} + y').$

【解析】

分离变量：
$$x \frac{dy}{dx} = y\ln y \implies \frac{dy}{y\ln y} = \frac{dx}{x}$$
两边积分：
$$\int \frac{d(\ln y)}{\ln y} = \int \frac{dx}{x} \implies \ln|\ln y| = \ln|x| + C_1 \implies \ln y = C x \implies y = e^{Cx}$$
分离变量：
$$\frac{dy}{dx} = \tan x \tan y \implies \cot y dy = \tan x dx$$
两边积分：
$$\int \frac{\cos y}{\sin y}dy = \int \frac{\sin x}{\cos x}dx \implies \ln|\sin y| = -\ln|\cos x| + C_1 \implies \ln|\sin y\cos x| = C_1 \implies \cos x\sin y = C$$
分离变量：
$$x(1 + x^2) y dy = (1 + y^2) dx \implies \frac{y}{1 + y^2}dy = \frac{1}{x(1 + x^2)}dx = \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^2}\right)dx$$
两边积分：
$$\frac{1}{2}\ln(1 + y^2) = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C_1 \implies \ln(1 + y^2) + \ln(1 + x^2) - 2\ln|x| = 2C_1$$
整理得：
$$(1 + y^2)(1 + x^2) = C x^2$$
整理关于 $y'$ 的同类项：
$$y'(1 - x - 2) = 2y^2 \implies -(x + 1)y' = 2y^2 \implies -(x + 1)\frac{dy}{dx} = 2y^2$$
分离变量：
$$-\frac{dy}{y^2} = \frac{2}{x + 1}dx$$
两边积分：
$$\frac{1}{y} = 2\ln|x + 1| + C = \ln(x + 1)^2 + C$$

2. 求微分方程的特解

【题目】

$y' = e^{2x - y}, \ y(0) = 0;$
$e^x\cos ydx + (1 + e^x)\sin ydy = 0, \ y(0) = \frac{\pi}{4}.$

【解析】

分离变量：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{2x}}{e^y} \implies e^y dy = e^{2x}dx$$
两边积分：
$$e^y = \frac{1}{2}e^{2x} + C$$
代入初值条件 $y(0) = 0$：
$$e^0 = \frac{1}{2}e^0 + C \implies 1 = \frac{1}{2} + C \implies C = \frac{1}{2}$$
特解为：
$$e^y = \frac{1}{2}(e^{2x} + 1) \implies y = \ln(e^{2x} + 1) - \ln 2$$
分离变量：
$$(1 + e^x)\sin y dy = -e^x\cos y dx \implies \frac{\sin y}{\cos y}dy = -\frac{e^x}{1 + e^x}dx \implies \tan y dy = -\frac{e^x}{1 + e^x}dx$$
两边积分：
$$-\ln|\cos y| = -\ln(1 + e^x) + C_1 \implies \ln|\sec y| = -\ln(1 + e^x) + C_1 \implies (1 + e^x)\sec y = C$$
代入初值条件 $x = 0, y = \frac{\pi}{4}$：
$$(1 + e^0)\sec\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} = C$$
特解为：
$$(1 + e^x)\sec y = 2\sqrt{2}$$

习题7.3 齐次方程

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 求下列齐次方程的通解

【题目】

$x \frac{dy}{dx} = y \ln \frac{y}{x};$
$\left(x + y\cos \frac{y}{x}\right)dx - x\cos \frac{y}{x} dy = 0;$
$\left(2y\sin \frac{x}{y} + 3x\cos \frac{x}{y}\right)dy - 3y\cos \frac{x}{y}dx = 0.$

【解析】

化为标准齐次形式：$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\ln\frac{y}{x}$。令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux, \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。
$$u + x\frac{du}{dx} = u\ln u \implies x\frac{du}{dx} = u(\ln u - 1) \implies \frac{du}{u(\ln u - 1)} = \frac{dx}{x}$$
两边积分：
$$\ln|\ln u - 1| = \ln|x| + C_1 \implies \ln u - 1 = C x \implies \ln u = C x + 1 \implies u = e^{Cx + 1}$$
代回 $u = \frac{y}{x}$：
$$y = x e^{Cx + 1}$$
改写方程：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{x + y\cos\frac{y}{x}}{x\cos\frac{y}{x}} = \frac{1}{\cos\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}$$
令 $u = \frac{y}{x}$，则 $u + x\frac{du}{dx} = \sec u + u \implies x\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos u} \implies \cos u du = \frac{dx}{x}$。两边积分：
$$\sin u = \ln|x| + C \implies \sin\frac{y}{x} = \ln|x| + C$$
方程中包含 $\frac{x}{y}$，令 $u = \frac{x}{y} \implies x = uy, \frac{dx}{dy} = u + y\frac{du}{dy}$。将方程改写为关于 $\frac{dx}{dy}$：
$$\frac{dx}{dy} = \frac{2y\sin u + 3(uy)\cos u}{3y\cos u} = \frac{2}{3}\tan u + u$$
代入 $u + y\frac{du}{dy} = \frac{2}{3}\tan u + u \implies y\frac{du}{dy} = \frac{2}{3}\tan u \implies \cot u du = \frac{2}{3}\frac{dy}{y}$。两边积分：
$$\ln|\sin u| = \frac{2}{3}\ln|y| + C_1 \implies \sin u = C y^{\frac{2}{3}} \implies \sin^3 u = C_2 y^2 \implies \sin^3\frac{x}{y} = C_2 y^2$$
等价形式：
$$x^2 = C \sin^3\frac{x}{y}$$

2. 求方程满足初始条件的特解

【题目】

$xy' = y + x\cos^2\frac{y}{x}, \ y(1) = 0;$
$y'=\frac{x}{y}+\frac{y}{x},\quad y(1)=2.$

【解析】

两边同除以 $x$：$y' = \frac{y}{x} + \cos^2\frac{y}{x}$。令 $u = \frac{y}{x}$，则 $u + x\frac{du}{dx} = u + \cos^2 u \implies x\frac{du}{dx} = \cos^2 u \implies \sec^2 u du = \frac{dx}{x}$。积分得通解：
$$\tan u = \ln|x| + C \implies \tan\frac{y}{x} = \ln|x| + C$$
代入初值条件 $x = 1, y = 0$：
$$\tan 0 = \ln 1 + C \implies C = 0$$
特解为：
$$\tan\frac{y}{x} = \ln x\quad (x > 0)$$
令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y' = \frac{1}{u} + u$。由 $u + x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u} + u \implies x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \implies u du = \frac{dx}{x}$。两边积分：
$$\frac{1}{2}u^2 = \ln|x| + C_1 \implies u^2 = 2\ln|x| + C \implies \frac{y^2}{x^2} = 2\ln|x| + C \implies y^2 = 2x^2(\ln|x| + C_2)$$
代入初值条件 $x = 1, y = 2$：
$$2^2 = 2(1)^2(\ln 1 + C_2) \implies 4 = 2C_2 \implies C_2 = 2$$
特解为：
$$y^2 = 2x^2(\ln x + 2)$$

习题7.4 一阶线性微分方程

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 求下列微分方程的通解

【题目】

$y' \cos x + y \sin x = 1;$
$(x - 2)\frac{dy}{dx} = y + 2(x - 2)^3;$
$y \ln y dx + (x - \ln y) dy = 0.$

【解析】

两边同除以 $\cos x$（标准化）：
$$y' + y\tan x = \sec x$$
其中 $P(x) = \tan x, Q(x) = \sec x$。积分因子 $\int P(x)dx = -\ln|\cos x|$，$e^{\int P(x)dx} = \sec x$。通解公式：
$$y = \cos x\left[\int \sec x \cdot \sec x dx + C\right] = \cos x\left[\int \sec^2 x dx + C\right] = \cos x(\tan x + C)$$
标准化（同除以 $x - 2$）：
$$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x - 2}y = 2(x - 2)^2$$
积分因子：$e^{-\int \frac{1}{x - 2}dx} = e^{-\ln|x - 2|} = \frac{1}{x - 2}$。通解公式：
$$y = (x - 2)\left[\int 2(x - 2)^2 \cdot \frac{1}{x - 2}dx + C\right] = (x - 2)\left[\int 2(x - 2)dx + C\right]$$

$$= (x - 2)\left[(x - 2)^2 + C\right] = (x - 2)^3 + C(x - 2)$$
将 $x$ 视为未知函数，$y$ 视为自变量：
$$y\ln y \frac{dx}{dy} + x - \ln y = 0 \implies \frac{dx}{dy} + \frac{1}{y\ln y}x = \frac{1}{y}$$
积分因子：$e^{\int \frac{1}{y\ln y}dy} = e^{\ln\ln y} = \ln y$。通解公式：
$$x = \frac{1}{\ln y}\left[\int \frac{1}{y} \cdot \ln y dy + C\right] = \frac{1}{\ln y}\left[\frac{1}{2}(\ln y)^2 + C\right] = \frac{\ln y}{2} + \frac{C}{\ln y}$$

2. 求微分方程满足所给初始条件的特解

【题目】

$$ \frac {d x}{d y} + \frac {x}{y} = \frac {\sin y}{y}, \left. x \right| _ {y = \pi} = 1. $$

【解析】

关于 $x(y)$ 的一阶线性微分方程，积分因子 $e^{\int \frac{1}{y}dy} = y$。两边同乘 $y$：

$$y \frac{dx}{dy} + x = \sin y \implies \frac{d}{dy}(xy) = \sin y$$

两边积分：

$$xy = -\cos y + C \implies x = \frac{-\cos y + C}{y}$$

代入初始条件 $y = \pi, x = 1$：

$$1 = \frac{-\cos\pi + C}{\pi} = \frac{1 + C}{\pi} \implies C = \pi - 1$$

特解为：

$$x = \frac{\pi - 1 - \cos y}{y}$$

3. 求解伯努利方程

【题目】

$y' + y = y^{2}(\cos x - \sin x);$
$y' - y = xy^5.$

【解析】

两边同除以 $y^2$：
$$y^{-2}y' + y^{-1} = \cos x - \sin x$$
令 $z = y^{-1}$，则 $z' = -y^{-2}y'$：
$$-z' + z = \cos x - \sin x \implies z' - z = \sin x - \cos x$$
积分因子为 $e^{-x}$：
$$z = e^x\left[\int (\sin x - \cos x)e^{-x}dx + C\right]$$
利用分部积分：$\int (\sin x - \cos x)e^{-x}dx = -e^{-x}\sin x$。因此：
$$z = e^x(-e^{-x}\sin x + C) = -\sin x + Ce^x$$
代回 $z = \frac{1}{y}$ 得通解：
$$\frac{1}{y} = -\sin x + Ce^x$$
两边同除以 $y^5$：
$$y^{-5}y' - y^{-4} = x$$
令 $z = y^{-4}$，则 $z' = -4y^{-5}y'$：
$$-\frac{1}{4}z' - z = x \implies z' + 4z = -4x$$
积分因子为 $e^{4x}$：
$$z = e^{-4x}\left[\int -4x e^{4x}dx + C\right]$$
分部积分：$\int -4x e^{4x}dx = -x e^{4x} + \int e^{4x}dx = -x e^{4x} + \frac{1}{4}e^{4x}$。代入得：
$$z = -x + \frac{1}{4} + Ce^{-4x}$$
代回 $z = \frac{1}{y^4}$ 得通解：
$$\frac{1}{y^4} = -x + \frac{1}{4} + Ce^{-4x}$$

习题7.5 可降阶的高阶微分方程

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 求下列微分方程的通解

【题目】

$y'' = x + \sin x;$
$xy'' + y' = 0;$
$yy'' + 2y'^{2} = 0;$
$y'' = y'^{2} + 1.$

【解析】

连续积分两次：
$$y' = \int (x + \sin x)dx = \frac{x^2}{2} - \cos x + C_1$$

$$y = \int \left(\frac{x^2}{2} - \cos x + C_1\right)dx = \frac{x^3}{6} - \sin x + C_1 x + C_2$$
不显含 $y$ 型，令 $p = y' \implies y'' = p'$：
$$x p' + p = 0 \implies \frac{dp}{p} = -\frac{dx}{x} \implies \ln|p| = -\ln|x| + \ln|C_1| \implies p = \frac{C_1}{x}$$
再积分：
$$y = \int \frac{C_1}{x}dx = C_1\ln|x| + C_2$$
不显含 $x$ 型，令 $p = y' \implies y'' = p\frac{dp}{dy}$：
$$y p \frac{dp}{dy} + 2p^2 = 0 \implies p\left(y\frac{dp}{dy} + 2p\right) = 0$$
除以 $p$（$p \neq 0$）：
$$\frac{dp}{p} = -\frac{2}{y}dy \implies \ln|p| = -2\ln|y| + \ln|C_1| \implies p = \frac{C_1}{y^2}$$
由于 $p = \frac{dy}{dx}$：
$$y^2 dy = C_1 dx \implies \frac{y^3}{3} = C_1 x + C_2' \implies y^3 = C_1 x + C_2$$
令 $p = y' \implies y'' = p'$：
$$p' = p^2 + 1 \implies \frac{dp}{p^2 + 1} = dx \implies \arctan p = x + C_1 \implies p = \tan(x + C_1)$$
再积分：
$$y = \int \tan(x + C_1)dx = -\ln|\cos(x + C_1)| + C_2 = \ln|\sec(x + C_1)| + C_2$$

2. 特解求解

【题目】

$$ y y ^ {\prime \prime} = 2 \left(y ^ {2} - y ^ {\prime}\right), y (0) = 1, y ^ {\prime} (0) = 2. $$

【解析】

不显含 $x$ 型，令 $p = y' \implies y'' = p\frac{dp}{dy}$。原方程为：

$$y p \frac{dp}{dy} = 2(y^2 - p)$$

解得：

$$\arctan y = x + \frac{\pi}{4}$$

习题7.6 高阶线性微分方程

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 填空题

【题目】

（下列函数组哪些是线性无关的，哪些是线性相关的）

$x, x+1$ ____；
$e^{2x}, 3e^{x}$ ____；
$\cos 4x, \sin 4x$ ____；
$\sin 2x, \cos x \sin x$ ____.

【解析】

设 $k_1 x + k_2(x + 1) = (k_1 + k_2)x + k_2 = 0$ 恒成立，则必有 $k_2 = 0$ 且 $k_1 + k_2 = 0 \implies k_1 = 0$。两函数成非比关系，故为线性无关。
比值 $\frac{e^{2x}}{3e^x} = \frac{1}{3}e^x$ 是非常数函数，故两函数线性无关。
比值 $\frac{\sin 4x}{\cos 4x} = \tan 4x$ 是非常数函数，故两函数线性无关。
由倍角公式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ 知，$\sin 2x - 2\cos x\sin x = 0$ 恒成立（两函数成常数比例关系），故为线性相关。

2. 验证解与通解

【题目】

$y_{1} = e^{x^{2}}$ , $y_{2} = xe^{x^{2}}$ 都是 $y'' - 4xy' + (4x^{2} - 2)y = 0$ 的解, 并写出该方程的通解;
$y = \frac{1}{x} (C_1 e^x + C_2 e^{-x}) + \frac{e^x}{2}$ （ $C_1, C_2$ 是任意常数）是方程 $xy'' + 2y' - xy = e^x$ 的通解.

【解析】

验证 $y_1 = e^{x^2}$： $y_1' = 2x e^{x^2}, y_1'' = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} = (4x^2 + 2)e^{x^2}$。代入：$(4x^2 + 2)e^{x^2} - 4x(2x e^{x^2}) + (4x^2 - 2)e^{x^2} = (4x^2 + 2 - 8x^2 + 4x^2 - 2)e^{x^2} = 0$。$y_1$ 为解。同理可验证 $y_2 = x e^{x^2}$ 亦为解。由于比值 $\frac{y_2}{y_1} = x$ 是非常数，故 $y_1, y_2$ 为方程的两个线性无关的特解。方程通解为：
$$y = (C_1 + C_2 x)e^{x^2}$$
求导代入验证可知方程满足，且含有两个相互独立的任意常数 $C_1, C_2$，故为通解。

3. 线性微分方程解的性质证明

【题目】

证明：若 $y_{1}, y_{2}$ 是 $P_{1}(x)y'' + P_{2}(x)y' + P_{3}(x)y = R(x)$ 的两个特解，则 $y_{1} - y_{2}$ 是 $P_{1}(x)y'' + P_{2}(x)y' + P_{3}(x)y = 0$ 的一个特解.

【解析】

证明： 设线性微分算子 $L[y] = P_1(x)y'' + P_2(x)y' + P_3(x)y$。由微分运算的线性性质可知：

$$L[y_1 - y_2] = L[y_1] - L[y_2]$$

因为 $y_1, y_2$ 均为非齐次方程的解，所以：

$$L[y_1] = R(x),\quad L[y_2] = R(x)$$

代入得：

$$L[y_1 - y_2] = R(x) - R(x) = 0$$

即 $y_1 - y_2$ 满足对应的齐次微分方程 $P_1(x)y'' + P_2(x)y' + P_3(x)y = 0$。证毕。

习题7.7 常系数齐次线性微分方程

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 求下列方程的通解

【题目】

$y'' + 4y' - 5y = 0;$
$y'' + 6y' + 9y = 0;$
$y'' + y' + y = 0;$
$y''' + y' = 0.$

【解析】

特征方程：$r^2 + 4r - 5 = 0 \implies (r + 5)(r - 1) = 0 \implies r_1 = -5, r_2 = 1$。通解为：
$$y = C_1 e^{-5x} + C_2 e^x$$
特征方程：$r^2 + 6r + 9 = 0 \implies (r + 3)^2 = 0 \implies r_1 = r_2 = -3$（二重实根）。通解为：
$$y = (C_1 + C_2 x)e^{-3x}$$
特征方程：$r^2 + r + 1 = 0 \implies r = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$。通解为：
$$y = e^{-\frac{x}{2}}\left(C_1 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_2 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)$$
特征方程：$r^3 + r = 0 \implies r(r^2 + 1) = 0 \implies r_1 = 0, r_{2,3} = \pm i$。通解为：
$$y = C_1 + C_2 \cos x + C_3 \sin x$$

2. 求初值问题的特解

【题目】

$y'' - 2y' + y = 0, \ y(2) = 1, y'(2) = -2;$
$y'' + 2y = 0, \ y(0) = 1, y'(0) = 2.$

【解析】

特征方程：$r^2 - 2r + 1 = 0 \implies (r - 1)^2 = 0 \implies r_1 = r_2 = 1$。通解为：$y = (C_1 + C_2 x)e^x$，亦可写为展开在 $x = 2$ 处的形式：$y = [A + B(x - 2)]e^{x - 2}$。当 $x = 2$ 时：$y(2) = A = 1$。求导数：$y' = B e^{x - 2} + [A + B(x - 2)]e^{x - 2}$。在 $x = 2$ 处：
$$y'(2) = B + A = -2 \implies B + 1 = -2 \implies B = -3$$
特解为：
$$y = [1 - 3(x - 2)]e^{x - 2} = (7 - 3x)e^{x - 2}$$
特征方程：$r^2 + 2 = 0 \implies r = \pm \sqrt{2}i$。通解为：$y = C_1\cos\sqrt{2}x + C_2\sin\sqrt{2}x$。导数：$y' = -\sqrt{2}C_1\sin\sqrt{2}x + \sqrt{2}C_2\cos\sqrt{2}x$。代入初值条件：
$$y(0) = C_1 = 1$$

$$y'(0) = \sqrt{2}C_2 = 2 \implies C_2 = \sqrt{2}$$
特解为：
$$y = \cos\sqrt{2}x + \sqrt{2}\sin\sqrt{2}x$$

习题7.8 常系数非齐次线性微分方程

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 求下列微分方程的一个特解

【题目】

$y'' - y' = x;$
$y'' - 4y' + 4y = 3 + e^{-2x}.$

【解析】

特征方程：$r^2 - r = 0 \implies r_1 = 0, r_2 = 1$。右端项 $f(x) = x = x e^{0x}$，$\lambda = 0$ 是特征单根。设特解形式为 $y^* = x(Ax + B) = Ax^2 + Bx$。求导：$(y^*)' = 2Ax + B$，$(y^*)'' = 2A$。代入方程：
$$2A - (2Ax + B) = x \implies -2Ax + (2A - B) = x$$
比较系数：
$$-2A = 1 \implies A = -\frac{1}{2}$$

$$2A - B = 0 \implies B = 2A = -1$$
特解为：
$$y^* = -\frac{1}{2}x^2 - x = -x - \frac{x^2}{2}$$
特征方程：$r^2 - 4r + 4 = 0 \implies (r - 2)^2 = 0 \implies r_1 = r_2 = 2$。

对于 $f_1(x) = 3$（$\lambda = 0$ 不是特征根），设特解 $y_1^* = A \implies 4A = 3 \implies A = \frac{3}{4}$；
对于 $f_2(x) = e^{-2x}$（$\lambda = -2$ 不是特征根），设特解 $y_2^* = B e^{-2x}$。代入：$4B e^{-2x} - 4(-2B e^{-2x}) + 4B e^{-2x} = (4 + 8 + 4)B e^{-2x} = 16B e^{-2x} = e^{-2x} \implies B = \frac{1}{16}$。由叠加原理，方程的一个特解为： $$y^* = \frac{1}{16}e^{-2x} + \frac{3}{4}$$

2. 求下列微分方程的通解

【题目】

$y'' - 7y' + 6y = \sin x;$
$y'' + y = x + e^{x}.$

【解析】

齐次特征方程：$r^2 - 7r + 6 = 0 \implies (r - 1)(r - 6) = 0 \implies r_1 = 1, r_2 = 6$。对应的齐次通解为 $Y = C_1 e^x + C_2 e^{6x}$。
设特解 $y^* = A\cos x + B\sin x$。求导：$(y^*)' = -A\sin x + B\cos x$，$(y^*)'' = -A\cos x - B\sin x$。代入原方程： $$(-A\cos x - B\sin x) - 7(-A\sin x + B\cos x) + 6(A\cos x + B\sin x) = \sin x$$ 整理同类项： $$(5A - 7B)\cos x + (7A + 5B)\sin x = \sin x$$ 建立方程组： $$\begin{cases} 5A - 7B = 0 \\ 7A + 5B = 1 \end{cases} \implies A = \frac{7}{74},\ B = \frac{5}{74}$$ 特解为 $y^* = \frac{7}{74}\cos x + \frac{5}{74}\sin x$。原方程通解为： $$y = C_1 e^x + C_2 e^{6x} + \frac{7}{74}\cos x + \frac{5}{74}\sin x$$

齐次特征方程：$r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i$。齐次通解为 $Y = C_1\cos x + C_2\sin x$。
对右端项 $f_1(x) = x$，设特解 $y_1^* = Ax + B \implies y_1^* = x$；
对右端项 $f_2(x) = e^x$，设特解 $y_2^* = C e^x \implies C e^x + C e^x = 2C e^x = e^x \implies C = \frac{1}{2}$。原方程通解为： $$y = C_1\cos x + C_2\sin x + x + \frac{1}{2}e^x$$

3. 初值问题特解

【题目】

$y'' + y + \sin 2x = 0, \ y(\pi) = 1, \ y'(\pi) = 1.$

【解析】

方程为 $y'' + y = -\sin 2x$。

齐次通解：$Y = C_1\cos x + C_2\sin x$；
设特解 $y^* = A\sin 2x$。 $(y^*)'' + y^* = -4A\sin 2x + A\sin 2x = -3A\sin 2x = -\sin 2x \implies A = \frac{1}{3}$。通解为： $$y = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{3}\sin 2x$$ 导数： $$y' = -C_1\sin x + C_2\cos x + \frac{2}{3}\cos 2x$$ 代入初值条件 $x = \pi$： $$y(\pi) = -C_1 + 0 = 1 \implies C_1 = -1$$ $$y'(\pi) = -C_2 + \frac{2}{3} = 1 \implies C_2 = -\frac{1}{3}$$ 特解为： $$y = -\cos x - \frac{1}{3}\sin x + \frac{1}{3}\sin 2x$$

第七章自测题

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 验证解

【题目】

验证函数 $y = x \int_0^x \sqrt{1 + t^4}dt$ 满足：

$$x\frac{dy}{dx} - y = x^2\sqrt{1 + x^4},\quad y(0) = y'(0) = 0.$$

【解析】

求导数：

$$\frac{dy}{dx} = \int_0^x \sqrt{1 + t^4}dt + x\sqrt{1 + x^4}$$

代入方程左边：

$$x\left(\int_0^x \sqrt{1 + t^4}dt + x\sqrt{1 + x^4}\right) - x\int_0^x \sqrt{1 + t^4}dt = x^2\sqrt{1 + x^4}$$

等式恒成立。且代入 $x = 0$ 显然 $y(0) = 0, y'(0) = 0$，验证完毕。

2. 求下列微分方程的通解

【题目】

1） $xy'\ln x + y = x(\ln x + 1);$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2(\ln y - x)};$
$\cos^ {2} x \frac {d y}{d x} + y = \tan x;$
$(y ^ {2} - 6 x) \frac {d y}{d x} + 2 y = 0;$

5） $\frac{dy}{dx}+xy-x^{3}y^{3}=0$ ；

$(y^{4} - 3x^{2})dy + xydx = 0.$

【解析】

一阶线性微分方程：$y' + \frac{1}{x\ln x}y = \frac{x(\ln x + 1)}{x\ln x} = 1 + \frac{1}{\ln x}$。积分因子为 $\ln x$。通解为：
$$y = x + \frac{C}{\ln x}$$
转化为关于 $x(y)$ 的方程：$\frac{dx}{dy} + \frac{2}{y}x = \frac{2\ln y}{y}$。通解为：
$$x = C y^{-2} + \ln y - \frac{1}{2}$$
标准化：$\frac{dy}{dx} + \sec^2 x \cdot y = \sec^2 x \tan x$。通解为：
$$y = \tan x - 1 + C e^{-\tan x}$$
转化为关于 $x(y)$ 的方程：$2y\frac{dx}{dy} - 6x = -y^2 \implies \frac{dx}{dy} - \frac{3}{y}x = -\frac{y}{2}$。通解为：
$$x = C y^3 + \frac{1}{2}y^2$$
伯努利方程：除以 $y^3$，令 $z = y^{-2}$。通解为：
$$y^{-2} = C e^{x^2} + x^2 + 1$$
令 $u = x^2 \implies \frac{du}{dy} = 2x\frac{dx}{dy}$。方程化为关于 $u(y)$ 的一阶线性方程。通解为：
$$x^2 = C y^6 + y^4$$

3. 高阶方程求解

【题目】

1） $y'' + \frac{1}{x} y' = x + \frac{1}{x};$

$y'' = y'^{3} + y';$

3） $y'' + 2y' + 5y = \sin 2x;$

$y'' + y = e^x + \cos x.$

【解析】

令 $p = y'$，解一阶线性方程得 $p = \frac{x^2}{3} + 1 + \frac{C_1}{x}$。再积分得：
$$y = \frac{x^3}{9} + x + C_1\ln|x| + C_2$$
通解为：
$$\sin(y + C_1) = C_2 e^x$$
通解为：
$$y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) - \frac{4}{17}\cos 2x + \frac{1}{17}\sin 2x$$
通解为：
$$y = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{e^x}{2} + \frac{x}{2}\sin x$$

4. 积分方程应用题

【题目】

设可导函数 $\varphi(x)$ 满足 $\varphi(x)\cos x + 2\int_0^x\varphi(t)\sin tdt = x + 1$ ，求 $\varphi(x)$ .

【解析】

方程两边对 $x$ 求导：

$$\varphi'(x)\cos x - \varphi(x)\sin x + 2\varphi(x)\sin x = 1 \implies \varphi'(x)\cos x + \varphi(x)\sin x = 1$$

标准化：

$$\varphi'(x) + \varphi(x)\tan x = \sec x$$

通解为：

$$\varphi(x) = \cos x(\tan x + C) = \sin x + C\cos x$$

在原积分方程中令 $x = 0$：

$$\varphi(0)\cos 0 + 0 = 0 + 1 \implies \varphi(0) = 1$$

代入通解：

$$\varphi(0) = \sin 0 + C\cos 0 = C = 1$$

因此：

$$\varphi(x) = \cos x + \sin x$$

第七章 微分方程 | YHK's life

习题7.1 微分方程的基本概念

1. 填空题

2. 验证解

3. 验证隐函数通解

4. 几何应用建立微分方程

习题7.2 可分离变量的微分方程

1. 求解下列可分离变量微分方程

2. 求微分方程的特解

习题7.3 齐次方程

1. 求下列齐次方程的通解

2. 求方程满足初始条件的特解

习题7.4 一阶线性微分方程

1. 求下列微分方程的通解

2. 求微分方程满足所给初始条件的特解

3. 求解伯努利方程

习题7.5 可降阶的高阶微分方程

1. 求下列微分方程的通解

2. 特解求解

习题7.6 高阶线性微分方程

1. 填空题

2. 验证解与通解

3. 线性微分方程解的性质证明

习题7.7 常系数齐次线性微分方程

1. 求下列方程的通解

2. 求初值问题的特解

习题7.8 常系数非齐次线性微分方程

1. 求下列微分方程的一个特解

2. 求下列微分方程的通解

3. 初值问题特解

第七章 自测题

1. 验证解

2. 求下列微分方程的通解

3. 高阶方程求解

4. 积分方程应用题

第七章微分方程 | YHK's life

第七章自测题