习题7.6 高阶线性微分方程
1. 填空题
【题目】
（下列函数组哪些是线性无关的，哪些是线性相关的）
$x, x+1$ ____；
$e^{2x}, 3e^{x}$ ____；
$\cos 4x, \sin 4x$ ____；
$\sin 2x, \cos x \sin x$ ____.
【解析】
设 $k_1 x + k_2(x + 1) = (k_1 + k_2)x + k_2 = 0$ 恒成立，则必有 $k_2 = 0$ 且 $k_1 + k_2 = 0 \implies k_1 = 0$。两函数成非比关系，故为线性无关。
比值 $\frac{e^{2x}}{3e^x} = \frac{1}{3}e^x$ 是非常数函数，故两函数线性无关。
比值 $\frac{\sin 4x}{\cos 4x} = \tan 4x$ 是非常数函数，故两函数线性无关。
由倍角公式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ 知，$\sin 2x - 2\cos x\sin x = 0$ 恒成立（两函数成常数比例关系），故为线性相关。
2. 验证解与通解
【题目】
$y_{1} = e^{x^{2}}$ , $y_{2} = xe^{x^{2}}$ 都是 $y'' - 4xy' + (4x^{2} - 2)y = 0$ 的解, 并写出该方程的通解;
$y = \frac{1}{x} (C_1 e^x + C_2 e^{-x}) + \frac{e^x}{2}$ （ $C_1, C_2$ 是任意常数）是方程 $xy'' + 2y' - xy = e^x$ 的通解.
【解析】
验证 $y_1 = e^{x^2}$： $y_1' = 2x e^{x^2}, y_1'' = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} = (4x^2 + 2)e^{x^2}$。 代入：$(4x^2 + 2)e^{x^2} - 4x(2x e^{x^2}) + (4x^2 - 2)e^{x^2} = (4x^2 + 2 - 8x^2 + 4x^2 - 2)e^{x^2} = 0$。$y_1$ 为解。 同理可验证 $y_2 = x e^{x^2}$ 亦为解。 由于比值 $\frac{y_2}{y_1} = x$ 是非常数，故 $y_1, y_2$ 为方程的两个线性无关的特解。 方程通解为：
$$y = (C_1 + C_2 x)e^{x^2}$$求导代入验证可知方程满足，且含有两个相互独立的任意常数 $C_1, C_2$，故为通解。
3. 线性微分方程解的性质证明
【题目】
证明：若 $y_{1}, y_{2}$ 是 $P_{1}(x)y'' + P_{2}(x)y' + P_{3}(x)y = R(x)$ 的两个特解，则 $y_{1} - y_{2}$ 是 $P_{1}(x)y'' + P_{2}(x)y' + P_{3}(x)y = 0$ 的一个特解.
【解析】
证明： 设线性微分算子 $L[y] = P_1(x)y'' + P_2(x)y' + P_3(x)y$。由微分运算的线性性质可知：
$$L[y_1 - y_2] = L[y_1] - L[y_2]$$因为 $y_1, y_2$ 均为非齐次方程的解，所以：
$$L[y_1] = R(x),\quad L[y_2] = R(x)$$代入得：
$$L[y_1 - y_2] = R(x) - R(x) = 0$$即 $y_1 - y_2$ 满足对应的齐次微分方程 $P_1(x)y'' + P_2(x)y' + P_3(x)y = 0$。证毕。