第七章 自测题
1. 验证解
【题目】
验证函数 $y = x \int_0^x \sqrt{1 + t^4}dt$ 满足：
$$x\frac{dy}{dx} - y = x^2\sqrt{1 + x^4},\quad y(0) = y'(0) = 0.$$【解析】
求导数：
$$\frac{dy}{dx} = \int_0^x \sqrt{1 + t^4}dt + x\sqrt{1 + x^4}$$代入方程左边：
$$x\left(\int_0^x \sqrt{1 + t^4}dt + x\sqrt{1 + x^4}\right) - x\int_0^x \sqrt{1 + t^4}dt = x^2\sqrt{1 + x^4}$$等式恒成立。且代入 $x = 0$ 显然 $y(0) = 0, y'(0) = 0$，验证完毕。
2. 求下列微分方程的通解
【题目】
1） $xy'\ln x + y = x(\ln x + 1);$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2(\ln y - x)};$
$\cos^ {2} x \frac {d y}{d x} + y = \tan x;$
$(y ^ {2} - 6 x) \frac {d y}{d x} + 2 y = 0;$
5） $\frac{dy}{dx}+xy-x^{3}y^{3}=0$ ；
- $(y^{4} - 3x^{2})dy + xydx = 0.$
【解析】
一阶线性微分方程：$y' + \frac{1}{x\ln x}y = \frac{x(\ln x + 1)}{x\ln x} = 1 + \frac{1}{\ln x}$。 积分因子为 $\ln x$。通解为：
$$y = x + \frac{C}{\ln x}$$转化为关于 $x(y)$ 的方程：$\frac{dx}{dy} + \frac{2}{y}x = \frac{2\ln y}{y}$。 通解为：
$$x = C y^{-2} + \ln y - \frac{1}{2}$$标准化：$\frac{dy}{dx} + \sec^2 x \cdot y = \sec^2 x \tan x$。 通解为：
$$y = \tan x - 1 + C e^{-\tan x}$$转化为关于 $x(y)$ 的方程：$2y\frac{dx}{dy} - 6x = -y^2 \implies \frac{dx}{dy} - \frac{3}{y}x = -\frac{y}{2}$。 通解为：
$$x = C y^3 + \frac{1}{2}y^2$$伯努利方程：除以 $y^3$，令 $z = y^{-2}$。 通解为：
$$y^{-2} = C e^{x^2} + x^2 + 1$$令 $u = x^2 \implies \frac{du}{dy} = 2x\frac{dx}{dy}$。方程化为关于 $u(y)$ 的一阶线性方程。 通解为：
$$x^2 = C y^6 + y^4$$
3. 高阶方程求解
【题目】
1） $y'' + \frac{1}{x} y' = x + \frac{1}{x};$
- $y'' = y'^{3} + y';$
3） $y'' + 2y' + 5y = \sin 2x;$
- $y'' + y = e^x + \cos x.$
【解析】
令 $p = y'$，解一阶线性方程得 $p = \frac{x^2}{3} + 1 + \frac{C_1}{x}$。再积分得：
$$y = \frac{x^3}{9} + x + C_1\ln|x| + C_2$$通解为：
$$\sin(y + C_1) = C_2 e^x$$通解为：
$$y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) - \frac{4}{17}\cos 2x + \frac{1}{17}\sin 2x$$通解为：
$$y = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{e^x}{2} + \frac{x}{2}\sin x$$
4. 积分方程应用题
【题目】
设可导函数 $\varphi(x)$ 满足 $\varphi(x)\cos x + 2\int_0^x\varphi(t)\sin tdt = x + 1$ ，求 $\varphi(x)$ .
【解析】
方程两边对 $x$ 求导：
$$\varphi'(x)\cos x - \varphi(x)\sin x + 2\varphi(x)\sin x = 1 \implies \varphi'(x)\cos x + \varphi(x)\sin x = 1$$标准化：
$$\varphi'(x) + \varphi(x)\tan x = \sec x$$通解为：
$$\varphi(x) = \cos x(\tan x + C) = \sin x + C\cos x$$在原积分方程中令 $x = 0$：
$$\varphi(0)\cos 0 + 0 = 0 + 1 \implies \varphi(0) = 1$$代入通解：
$$\varphi(0) = \sin 0 + C\cos 0 = C = 1$$因此：
$$\varphi(x) = \cos x + \sin x$$