习题7.8 常系数非齐次线性微分方程
1. 求下列微分方程的一个特解
【题目】
$y'' - y' = x;$
$y'' - 4y' + 4y = 3 + e^{-2x}.$
【解析】
特征方程：$r^2 - r = 0 \implies r_1 = 0, r_2 = 1$。 右端项 $f(x) = x = x e^{0x}$，$\lambda = 0$ 是特征单根。 设特解形式为 $y^* = x(Ax + B) = Ax^2 + Bx$。 求导：$(y^*)' = 2Ax + B$，$(y^*)'' = 2A$。 代入方程：
$$2A - (2Ax + B) = x \implies -2Ax + (2A - B) = x$$比较系数：
$$-2A = 1 \implies A = -\frac{1}{2}$$$$2A - B = 0 \implies B = 2A = -1$$特解为：
$$y^* = -\frac{1}{2}x^2 - x = -x - \frac{x^2}{2}$$特征方程：$r^2 - 4r + 4 = 0 \implies (r - 2)^2 = 0 \implies r_1 = r_2 = 2$。
- 对于 $f_1(x) = 3$（$\lambda = 0$ 不是特征根），设特解 $y_1^* = A \implies 4A = 3 \implies A = \frac{3}{4}$；
- 对于 $f_2(x) = e^{-2x}$（$\lambda = -2$ 不是特征根），设特解 $y_2^* = B e^{-2x}$。 代入：$4B e^{-2x} - 4(-2B e^{-2x}) + 4B e^{-2x} = (4 + 8 + 4)B e^{-2x} = 16B e^{-2x} = e^{-2x} \implies B = \frac{1}{16}$。 由叠加原理，方程的一个特解为： $$y^* = \frac{1}{16}e^{-2x} + \frac{3}{4}$$
2. 求下列微分方程的通解
【题目】
$y'' - 7y' + 6y = \sin x;$
$y'' + y = x + e^{x}.$
【解析】
- 齐次特征方程：$r^2 - 7r + 6 = 0 \implies (r - 1)(r - 6) = 0 \implies r_1 = 1, r_2 = 6$。 对应的齐次通解为 $Y = C_1 e^x + C_2 e^{6x}$。
- 设特解 $y^* = A\cos x + B\sin x$。 求导：$(y^*)' = -A\sin x + B\cos x$，$(y^*)'' = -A\cos x - B\sin x$。 代入原方程： $$(-A\cos x - B\sin x) - 7(-A\sin x + B\cos x) + 6(A\cos x + B\sin x) = \sin x$$ 整理同类项： $$(5A - 7B)\cos x + (7A + 5B)\sin x = \sin x$$ 建立方程组： $$\begin{cases} 5A - 7B = 0 \\ 7A + 5B = 1 \end{cases} \implies A = \frac{7}{74},\ B = \frac{5}{74}$$ 特解为 $y^* = \frac{7}{74}\cos x + \frac{5}{74}\sin x$。 原方程通解为： $$y = C_1 e^x + C_2 e^{6x} + \frac{7}{74}\cos x + \frac{5}{74}\sin x$$
- 齐次特征方程：$r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i$。齐次通解为 $Y = C_1\cos x + C_2\sin x$。
- 对右端项 $f_1(x) = x$，设特解 $y_1^* = Ax + B \implies y_1^* = x$；
- 对右端项 $f_2(x) = e^x$，设特解 $y_2^* = C e^x \implies C e^x + C e^x = 2C e^x = e^x \implies C = \frac{1}{2}$。 原方程通解为： $$y = C_1\cos x + C_2\sin x + x + \frac{1}{2}e^x$$
3. 初值问题特解
【题目】
$y'' + y + \sin 2x = 0, \ y(\pi) = 1, \ y'(\pi) = 1.$
【解析】
方程为 $y'' + y = -\sin 2x$。
- 齐次通解：$Y = C_1\cos x + C_2\sin x$；
- 设特解 $y^* = A\sin 2x$。 $(y^*)'' + y^* = -4A\sin 2x + A\sin 2x = -3A\sin 2x = -\sin 2x \implies A = \frac{1}{3}$。 通解为： $$y = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{3}\sin 2x$$ 导数： $$y' = -C_1\sin x + C_2\cos x + \frac{2}{3}\cos 2x$$ 代入初值条件 $x = \pi$： $$y(\pi) = -C_1 + 0 = 1 \implies C_1 = -1$$ $$y'(\pi) = -C_2 + \frac{2}{3} = 1 \implies C_2 = -\frac{1}{3}$$ 特解为： $$y = -\cos x - \frac{1}{3}\sin x + \frac{1}{3}\sin 2x$$