习题7.7 常系数齐次线性微分方程
1. 求下列方程的通解
【题目】
$y'' + 4y' - 5y = 0;$
$y'' + 6y' + 9y = 0;$
$y'' + y' + y = 0;$
$y''' + y' = 0.$
【解析】
特征方程：$r^2 + 4r - 5 = 0 \implies (r + 5)(r - 1) = 0 \implies r_1 = -5, r_2 = 1$。 通解为：
$$y = C_1 e^{-5x} + C_2 e^x$$特征方程：$r^2 + 6r + 9 = 0 \implies (r + 3)^2 = 0 \implies r_1 = r_2 = -3$（二重实根）。 通解为：
$$y = (C_1 + C_2 x)e^{-3x}$$特征方程：$r^2 + r + 1 = 0 \implies r = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$。 通解为：
$$y = e^{-\frac{x}{2}}\left(C_1 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_2 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)$$特征方程：$r^3 + r = 0 \implies r(r^2 + 1) = 0 \implies r_1 = 0, r_{2,3} = \pm i$。 通解为：
$$y = C_1 + C_2 \cos x + C_3 \sin x$$
2. 求初值问题的特解
【题目】
$y'' - 2y' + y = 0, \ y(2) = 1, y'(2) = -2;$
$y'' + 2y = 0, \ y(0) = 1, y'(0) = 2.$
【解析】
特征方程：$r^2 - 2r + 1 = 0 \implies (r - 1)^2 = 0 \implies r_1 = r_2 = 1$。 通解为：$y = (C_1 + C_2 x)e^x$，亦可写为展开在 $x = 2$ 处的形式：$y = [A + B(x - 2)]e^{x - 2}$。 当 $x = 2$ 时：$y(2) = A = 1$。 求导数：$y' = B e^{x - 2} + [A + B(x - 2)]e^{x - 2}$。在 $x = 2$ 处：
$$y'(2) = B + A = -2 \implies B + 1 = -2 \implies B = -3$$特解为：
$$y = [1 - 3(x - 2)]e^{x - 2} = (7 - 3x)e^{x - 2}$$特征方程：$r^2 + 2 = 0 \implies r = \pm \sqrt{2}i$。 通解为：$y = C_1\cos\sqrt{2}x + C_2\sin\sqrt{2}x$。 导数：$y' = -\sqrt{2}C_1\sin\sqrt{2}x + \sqrt{2}C_2\cos\sqrt{2}x$。 代入初值条件：
$$y(0) = C_1 = 1$$$$y'(0) = \sqrt{2}C_2 = 2 \implies C_2 = \sqrt{2}$$特解为：
$$y = \cos\sqrt{2}x + \sqrt{2}\sin\sqrt{2}x$$