习题7.4 一阶线性微分方程
1. 求下列微分方程的通解
【题目】
$y' \cos x + y \sin x = 1;$
$(x - 2)\frac{dy}{dx} = y + 2(x - 2)^3;$
$y \ln y dx + (x - \ln y) dy = 0.$
【解析】
两边同除以 $\cos x$（标准化）：
$$y' + y\tan x = \sec x$$其中 $P(x) = \tan x, Q(x) = \sec x$。积分因子 $\int P(x)dx = -\ln|\cos x|$，$e^{\int P(x)dx} = \sec x$。 通解公式：
$$y = \cos x\left[\int \sec x \cdot \sec x dx + C\right] = \cos x\left[\int \sec^2 x dx + C\right] = \cos x(\tan x + C)$$标准化（同除以 $x - 2$）：
$$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x - 2}y = 2(x - 2)^2$$积分因子：$e^{-\int \frac{1}{x - 2}dx} = e^{-\ln|x - 2|} = \frac{1}{x - 2}$。 通解公式：
$$y = (x - 2)\left[\int 2(x - 2)^2 \cdot \frac{1}{x - 2}dx + C\right] = (x - 2)\left[\int 2(x - 2)dx + C\right]$$$$= (x - 2)\left[(x - 2)^2 + C\right] = (x - 2)^3 + C(x - 2)$$将 $x$ 视为未知函数，$y$ 视为自变量：
$$y\ln y \frac{dx}{dy} + x - \ln y = 0 \implies \frac{dx}{dy} + \frac{1}{y\ln y}x = \frac{1}{y}$$积分因子：$e^{\int \frac{1}{y\ln y}dy} = e^{\ln\ln y} = \ln y$。 通解公式：
$$x = \frac{1}{\ln y}\left[\int \frac{1}{y} \cdot \ln y dy + C\right] = \frac{1}{\ln y}\left[\frac{1}{2}(\ln y)^2 + C\right] = \frac{\ln y}{2} + \frac{C}{\ln y}$$
2. 求微分方程满足所给初始条件的特解
【题目】
$$ \frac {d x}{d y} + \frac {x}{y} = \frac {\sin y}{y}, \left. x \right| _ {y = \pi} = 1. $$【解析】
关于 $x(y)$ 的一阶线性微分方程，积分因子 $e^{\int \frac{1}{y}dy} = y$。 两边同乘 $y$：
$$y \frac{dx}{dy} + x = \sin y \implies \frac{d}{dy}(xy) = \sin y$$两边积分：
$$xy = -\cos y + C \implies x = \frac{-\cos y + C}{y}$$代入初始条件 $y = \pi, x = 1$：
$$1 = \frac{-\cos\pi + C}{\pi} = \frac{1 + C}{\pi} \implies C = \pi - 1$$特解为：
$$x = \frac{\pi - 1 - \cos y}{y}$$3. 求解伯努利方程
【题目】
$y' + y = y^{2}(\cos x - \sin x);$
$y' - y = xy^5.$
【解析】
两边同除以 $y^2$：
$$y^{-2}y' + y^{-1} = \cos x - \sin x$$令 $z = y^{-1}$，则 $z' = -y^{-2}y'$：
$$-z' + z = \cos x - \sin x \implies z' - z = \sin x - \cos x$$积分因子为 $e^{-x}$：
$$z = e^x\left[\int (\sin x - \cos x)e^{-x}dx + C\right]$$利用分部积分：$\int (\sin x - \cos x)e^{-x}dx = -e^{-x}\sin x$。 因此：
$$z = e^x(-e^{-x}\sin x + C) = -\sin x + Ce^x$$代回 $z = \frac{1}{y}$ 得通解：
$$\frac{1}{y} = -\sin x + Ce^x$$两边同除以 $y^5$：
$$y^{-5}y' - y^{-4} = x$$令 $z = y^{-4}$，则 $z' = -4y^{-5}y'$：
$$-\frac{1}{4}z' - z = x \implies z' + 4z = -4x$$积分因子为 $e^{4x}$：
$$z = e^{-4x}\left[\int -4x e^{4x}dx + C\right]$$分部积分：$\int -4x e^{4x}dx = -x e^{4x} + \int e^{4x}dx = -x e^{4x} + \frac{1}{4}e^{4x}$。 代入得：
$$z = -x + \frac{1}{4} + Ce^{-4x}$$代回 $z = \frac{1}{y^4}$ 得通解：
$$\frac{1}{y^4} = -x + \frac{1}{4} + Ce^{-4x}$$