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Advanced Mathematics
习题册
第七章 微分方程
习题7.3 齐次方程

习题7.3 齐次方程

1. 求下列齐次方程的通解

【题目】

  1. $x \frac{dy}{dx} = y \ln \frac{y}{x};$

  2. $\left(x + y\cos \frac{y}{x}\right)dx - x\cos \frac{y}{x} dy = 0;$

  3. $\left(2y\sin \frac{x}{y} + 3x\cos \frac{x}{y}\right)dy - 3y\cos \frac{x}{y}dx = 0.$

【解析】

  1. 化为标准齐次形式：$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\ln\frac{y}{x}$。 令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux, \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。

    $$u + x\frac{du}{dx} = u\ln u \implies x\frac{du}{dx} = u(\ln u - 1) \implies \frac{du}{u(\ln u - 1)} = \frac{dx}{x}$$

    两边积分：

    $$\ln|\ln u - 1| = \ln|x| + C_1 \implies \ln u - 1 = C x \implies \ln u = C x + 1 \implies u = e^{Cx + 1}$$

    代回 $u = \frac{y}{x}$：

    $$y = x e^{Cx + 1}$$

  2. 改写方程：

    $$\frac{dy}{dx} = \frac{x + y\cos\frac{y}{x}}{x\cos\frac{y}{x}} = \frac{1}{\cos\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}$$

    令 $u = \frac{y}{x}$，则 $u + x\frac{du}{dx} = \sec u + u \implies x\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos u} \implies \cos u du = \frac{dx}{x}$。 两边积分：

    $$\sin u = \ln|x| + C \implies \sin\frac{y}{x} = \ln|x| + C$$

  3. 方程中包含 $\frac{x}{y}$，令 $u = \frac{x}{y} \implies x = uy, \frac{dx}{dy} = u + y\frac{du}{dy}$。 将方程改写为关于 $\frac{dx}{dy}$：

    $$\frac{dx}{dy} = \frac{2y\sin u + 3(uy)\cos u}{3y\cos u} = \frac{2}{3}\tan u + u$$

    代入 $u + y\frac{du}{dy} = \frac{2}{3}\tan u + u \implies y\frac{du}{dy} = \frac{2}{3}\tan u \implies \cot u du = \frac{2}{3}\frac{dy}{y}$。 两边积分：

    $$\ln|\sin u| = \frac{2}{3}\ln|y| + C_1 \implies \sin u = C y^{\frac{2}{3}} \implies \sin^3 u = C_2 y^2 \implies \sin^3\frac{x}{y} = C_2 y^2$$

    等价形式：

    $$x^2 = C \sin^3\frac{x}{y}$$

2. 求方程满足初始条件的特解

【题目】

  1. $xy' = y + x\cos^2\frac{y}{x}, \ y(1) = 0;$

  2. $y'=\frac{x}{y}+\frac{y}{x},\quad y(1)=2.$

【解析】

  1. 两边同除以 $x$：$y' = \frac{y}{x} + \cos^2\frac{y}{x}$。 令 $u = \frac{y}{x}$，则 $u + x\frac{du}{dx} = u + \cos^2 u \implies x\frac{du}{dx} = \cos^2 u \implies \sec^2 u du = \frac{dx}{x}$。 积分得通解：

    $$\tan u = \ln|x| + C \implies \tan\frac{y}{x} = \ln|x| + C$$

    代入初值条件 $x = 1, y = 0$：

    $$\tan 0 = \ln 1 + C \implies C = 0$$

    特解为：

    $$\tan\frac{y}{x} = \ln x\quad (x > 0)$$

  2. 令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y' = \frac{1}{u} + u$。 由 $u + x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u} + u \implies x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \implies u du = \frac{dx}{x}$。 两边积分：

    $$\frac{1}{2}u^2 = \ln|x| + C_1 \implies u^2 = 2\ln|x| + C \implies \frac{y^2}{x^2} = 2\ln|x| + C \implies y^2 = 2x^2(\ln|x| + C_2)$$

    代入初值条件 $x = 1, y = 2$：

    $$2^2 = 2(1)^2(\ln 1 + C_2) \implies 4 = 2C_2 \implies C_2 = 2$$

    特解为：

    $$y^2 = 2x^2(\ln x + 2)$$
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