习题7.1 微分方程的基本概念
1. 填空题
【题目】
1）微分方程 $x(y')^{2}-2yy'=0$ 的阶数为 ____；
2）微分方程 $y'y^{(4)}-(y')^{2}=1$ 的阶数为 ____；
3）积分曲线 $xy = C$ 满足的一阶微分方程为 ____；
4）曲线族 $y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-2x}$ 满足 $y(0) = 1$ ， $y'(0) = -2$ 的曲线方程为 ____.
【解析】
方程中出现的最高阶导数为一阶导数 $y'$，故阶数为 1。
方程中出现的最高阶导数为四阶导数 $y^{(4)}$，故阶数为 4。
对方程 $xy = C$ 两边对 $x$ 求导：
$$y + xy' = 0 \implies xy' + y = 0$$求导数：$y' = C_1 e^x - 2C_2 e^{-2x}$。代入初值条件：
$$\begin{cases} y(0) = C_1 + C_2 = 1 \\ y'(0) = C_1 - 2C_2 = -2 \end{cases}$$两式相减：$3C_2 = 3 \implies C_2 = 1$。 代入得 $C_1 = 0$。 因此曲线方程为：
$$y = e^{-2x}$$
2. 验证解
【题目】
验证函数 $y = x \ln x + 1$ 满足微分方程 $x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - x \frac{dy}{dx} + y = 1$ .
【解析】
求一阶、二阶导数：
$$\frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{x}$$将 $y, y', y''$ 代入方程左边：
$$x^2\left(\frac{1}{x}\right) - x(\ln x + 1) + (x\ln x + 1) = x - x\ln x - x + x\ln x + 1 = 1$$左边恒等于右边，故函数满足该微分方程。
3. 验证隐函数通解
【题目】
验证由方程 $x^{2}-xy+y^{2}=C$ 确定的隐函数是微分方程 $(x-2y)\frac{dy}{dx}=2x-y$ 的通解（其中 C 为任意常数）.
【解析】
方程两边对 $x$ 隐函数求导：
$$2x - (y + xy') + 2yy' = 0 \implies (2x - y) + y'(2y - x) = 0$$移项整理：
$$y'(2y - x) = y - 2x \implies y'(x - 2y) = 2x - y$$即：
$$(x - 2y)\frac{dy}{dx} = 2x - y$$且解中含有独立的任意常数 $C$，阶数与常数个数相等，故该隐函数为方程的通解。
4. 几何应用建立微分方程
【题目】
已知曲线的任意点处的切线在 $x$ 轴与 $y$ 轴上的截距之和为 2, 求该曲线满足的一阶微分方程.
【解析】
设曲线在任一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $y'$。切线方程为：
$$Y - y = y'(X - x)$$- 令 $Y = 0$，解得 $x$ 轴截距：$X = x - \frac{y}{y'}$；
- 令 $X = 0$，解得 $y$ 轴截距：$Y = y - xy'$。 根据题意，截距之和等于 2： $$\left(x - \frac{y}{y'}\right) + (y - xy') = 2$$ 两边同乘 $y'$ 整理： $$x y' - y + y y' - x (y')^2 = 2y' \implies x(y')^2 - (x + y - 2)y' + y = 0$$