习题1.8 函数的连续性
1. 指出间断点并判断类型
【题目】
$f(x) = \frac{x^2 - x}{|x|(x^2 - 1)}$
【解析】
函数的无定义点即为分母等于 0 的点：$|x|(x^2 - 1) = 0$，解得 $x = 0$，$x = 1$，$x = -1$。这三个点为函数的间断点。
考察 $x = 1$： 当 $x \to 1$ 时，$|x| = x > 0$。对式子化简：
$$f(x) = \frac{x(x - 1)}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$$取极限：
$$\lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1}\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2}$$左右极限均存在且相等，但函数在 $x = 1$ 处无定义，故 $x = 1$ 为第一类可去间断点。
考察 $x = 0$：
- 右极限（$x > 0$ 时，$|x| = x$）： $$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}\frac{x(x - 1)}{x(x^2 - 1)} = \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x + 1} = 1$$
- 左极限（$x < 0$ 时，$|x| = -x$）： $$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}\frac{x(x - 1)}{-x(x^2 - 1)} = \lim_{x\to 0^-}\left(-\frac{1}{x + 1}\right) = -1$$ 左右极限均存在但不相等（$-1 \neq 1$），故 $x = 0$ 为第一类跳跃间断点。
考察 $x = -1$： 当 $x \to -1$ 时，分子 $x^2 - x \to (-1)^2 - (-1) = 2 \neq 0$，分母 $|x|(x^2 - 1) \to 0$。
$$\lim_{x\to -1} f(x) = \infty$$极限为无穷大，故 $x = -1$ 为第二类无穷间断点。
2. 指出间断点并判断类型
【题目】
$f(x) = \frac{x}{\tan x}$
【解析】
函数由 $y = \frac{x\cos x}{\sin x}$ 构成，有两类无定义点：
- 正切函数自身无定义的点：$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$；
- 作为分母为 0 的点：$\sin x = 0 \implies x = k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$。
考察 $x = 0$：
$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{\tan x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x} \cdot \cos x = 1 \cdot 1 = 1$$极限存在，故 $x = 0$ 为第一类可去间断点。
考察 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$： 当 $x \to \frac{\pi}{2} + k\pi$ 时，$\tan x \to \infty$。
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2} + k\pi}\frac{x}{\tan x} = 0$$极限存在，故 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})$ 为第一类可去间断点。
考察 $x = k\pi\ (k \in \mathbb{Z}, k \neq 0)$： 当 $x \to k\pi$ 时，分子 $x \to k\pi \neq 0$，分母 $\tan x \to 0$。
$$\lim_{x\to k\pi}\frac{x}{\tan x} = \infty$$极限为无穷大，故 $x = k\pi\ (k \in \mathbb{Z}, k \neq 0)$ 为第二类无穷间断点。
3. 指出间断点并判断类型
【题目】
$f(x) = \lim_{n\to \infty}\frac{nx}{nx^2 + 1}$
【解析】
先求极限确定函数 $f(x)$ 的解析表达式：
- 当 $x = 0$ 时，对任意自然数 $n$，$\frac{n \cdot 0}{n \cdot 0^2 + 1} = 0$，故： $$f(0) = \lim_{n\to \infty} 0 = 0$$
- 当 $x \neq 0$ 时，$nx^2 \to \infty$。分子分母同除以 $n$： $$f(x) = \lim_{n\to \infty}\frac{x}{x^2 + \frac{1}{n}} = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$$
因此，函数为：
$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}$$考察 $x = 0$ 处：
$$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty,\quad \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty$$当 $x \to 0$ 时单侧极限为无穷大，故 $x = 0$ 为第二类无穷间断点。