习题1.7 无穷小的比较
1. 填空题
【题目】
（从“高阶”、“低阶”、“同阶”、“等价”中选择合适答案填在空格处）
1） $x\to 0$ 时， $x^{4} + \sin x$ 是 $x$ 的 ____ 无穷小；
2） $x\to 0$ 时， $\sin x^2$ 是 $x$ 的 ____ 无穷小；
3） $x\to 0^{+}$ 时， $\sin \sqrt{x} +x^{\frac{2}{3}}$ 是 $x$ 的 ____ 无穷小；
4） $x\to 0$ 时， $\frac{1 - \cos 2x}{2}$ 是 $x^{2}$ 的 ____ 无穷小；
5） $x\to 0$ 时， $\sqrt{1 + x} -\sqrt{1 - x}$ 是 $x$ 的 ____ 无穷小.
【解析】
计算比值的极限：
$$\lim_{x\to 0}\frac{x^4 + \sin x}{x} = \lim_{x\to 0}\left(x^3 + \frac{\sin x}{x}\right) = 0 + 1 = 1$$极限为 1，故为等价无穷小。
计算比值的极限：
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0} x = 0$$极限为 0，故为高阶无穷小。
当 $x \to 0^+$ 时，$\sin\sqrt{x} \sim x^{\frac{1}{2}}$，而 $\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < 1$，故分子中最低阶项为 $x^{\frac{1}{2}}$：
$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin \sqrt{x} + x^{\frac{2}{3}}}{x} = \lim_{x\to 0^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + x^{-\frac{1}{3}}\right) = \infty$$比值为无穷大，故为低阶无穷小。
利用倍角公式 $\frac{1 - \cos 2x}{2} = \sin^2 x$：
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2} = 1$$极限为 1，故为等价无穷小。
分子有理化：
$$\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x} = \frac{(1 + x) - (1 - x)}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} = \frac{2x}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}}$$比值的极限：
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{2}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} = \frac{2}{1 + 1} = 1$$极限为 1，故为等价无穷小。
2. 利用无穷小等价代换计算极限
【题目】
$\lim_{x\to0}\frac{\sin x^{n}}{\sin^{m}x};$
$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{\sin2x};$
$\lim_{x\to0}\frac{\arctan2x}{\sqrt{1+x}-1};$
$\lim_{x\to0}\frac{x\arcsin x}{e^{-x^{2}}-1}.$
【解析】
当 $x \to 0$ 时，$\sin x^n \sim x^n$，$\sin^m x \sim x^m$。
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^n}{\sin^m x} = \lim_{x\to 0}\frac{x^n}{x^m} = \lim_{x\to 0} x^{n - m}$$分情况讨论：
- 当 $n > m$ 时，极限为 0；
- 当 $n = m$ 时，极限为 1；
- 当 $n < m$ 时，极限为 $\infty$。
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x) \sim x$，$\sin 2x \sim 2x$。
$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1 + x)}{\sin 2x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$$当 $x \to 0$ 时，$\arctan 2x \sim 2x$，$\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{2}x$。
$$\lim_{x\to 0}\frac{\arctan 2x}{\sqrt{1 + x} - 1} = \lim_{x\to 0}\frac{2x}{\frac{1}{2}x} = 4$$当 $x \to 0$ 时，$\arcsin x \sim x$，$e^{-x^2} - 1 \sim -x^2$。
$$\lim_{x\to 0}\frac{x\arcsin x}{e^{-x^2} - 1} = \lim_{x\to 0}\frac{x \cdot x}{-x^2} = -1$$
3. 根据极限值确定参数
【题目】
$\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^2 + 1}{x + 1} -ax - b\right) = 0;$
$\lim_{x\to-1}\frac{2x^{2}+ax+b}{x+1}=3.$
【解析】
对括号内通分整理：
$$\frac{x^2 + 1}{x + 1} - ax - b = \frac{x^2 + 1 - (ax + b)(x + 1)}{x + 1} = \frac{(1 - a)x^2 - (a + b)x + (1 - b)}{x + 1}$$当 $x \to \infty$ 时，分母为 1 次多项式，若整体极限为 0，则分子的次数必须严格小于分母的次数（即分子最高次只能为 0 次常数，或更高次系数全为 0）：
- $x^2$ 项系数为 0：$1 - a = 0 \implies a = 1$；
- $x$ 项系数为 0：$-(a + b) = 0 \implies b = -a = -1$。
此时分子变为 $1 - (-1) = 2$，极限为 $\lim_{x\to \infty}\frac{2}{x+1} = 0$，符合题意。 因此：$a = 1, b = -1$。
当 $x \to -1$ 时，分母 $x + 1 \to 0$。由于极限值为有限常数 3，因此分子在 $x \to -1$ 时的极限必为 0：
$$2(-1)^2 + a(-1) + b = 0 \implies 2 - a + b = 0 \implies b = a - 2$$将 $b = a - 2$ 代回分子：
$$2x^2 + ax + a - 2 = (x + 1)(2x + a - 2)$$约去零因子 $x + 1$：
$$\lim_{x\to -1}\frac{(x + 1)(2x + a - 2)}{x + 1} = \lim_{x\to -1}(2x + a - 2) = -2 + a - 2 = a - 4$$令 $a - 4 = 3$，解得 $a = 7$。代入得 $b = 7 - 2 = 5$。 因此：$a = 7, b = 5$。