习题1.5 极限运算法则
1. 填空题
【题目】
$\lim_{n\to \infty}\frac{n^2 + n - 1}{(n - 1)^2} =$ ____
$\lim_{x\to \infty}\frac{(2x^2 - 3x - 4)^2}{x^4 - 3x^2 + 1} =$ ____
$\lim_{x\to \infty}\frac{2x^2 - 3x - 4}{x^4 - 3x^2 + 1} =$ ____
$\lim_{x\to \infty}\frac{2x^4 - 3x - 4}{3x^2 + 1} =$ ____
【解析】
展开分母：$(n - 1)^2 = n^2 - 2n + 1$。分子分母同除以最高次幂 $n^2$：
$$\lim_{n\to \infty}\frac{n^2 + n - 1}{n^2 - 2n + 1} = \lim_{n\to \infty}\frac{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{1} = 1$$分子展开后最高次项为 $(2x^2)^2 = 4x^4$，分母最高次项为 $x^4$。分子分母同除以 $x^4$：
$$\lim_{x\to \infty}\frac{(2x^2 - 3x - 4)^2}{x^4 - 3x^2 + 1} = \lim_{x\to \infty}\frac{\left(2 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2}\right)^2}{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^4}} = \frac{2^2}{1} = 4$$分子次数为 2，分母次数为 4。由于分子次数小于分母次数，分子分母同除以 $x^4$：
$$\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3} - \frac{4}{x^4}}{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^4}} = \frac{0}{1} = 0$$分子次数为 4，分母次数为 2。由于分子次数大于分母次数：
$$\lim_{x\to \infty}\frac{2x^4 - 3x - 4}{3x^2 + 1} = \lim_{x\to \infty}\frac{2x^2 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2}}{3 + \frac{1}{x^2}} = \infty$$
2. 计算下列极限
【题目】
$\lim_{n\to \infty}n\left(\sqrt{n^2 + 1} -n\right);$
$\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}};$
$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}\right);$
$\lim_{x\to1}\frac{x+x^{2}+x^{3}-3}{x-1};$
$\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3};$
$\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{x - 1} -\frac{2}{x^2 - 1}\right).$
【解析】
对括号内的根式进行分子有理化：
$$\sqrt{n^2 + 1} - n = \frac{(n^2 + 1) - n^2}{\sqrt{n^2 + 1} + n} = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$$因此：
$$\lim_{n\to \infty}n\left(\sqrt{n^2 + 1} - n\right) = \lim_{n\to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$分子和分母分别有理化：
$$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$$$$\sqrt{n + 2} - \sqrt{n} = \frac{2}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}$$代入原式：
$$\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}} = \lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n}}{2(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})} = \lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1}{2\left(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1\right)} = \frac{1 + 1}{2(1 + 1)} = \frac{1}{2}$$拆项裂项相消： 利用分式裂项公式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$：
$$S_n = \frac{1}{2}\left[\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)\right] = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)$$取极限得：
$$\lim_{n\to \infty} S_n = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2}$$将分子的常数 3 拆分为 $1+1+1$：
$$\frac{x + x^2 + x^3 - 3}{x - 1} = \frac{(x - 1) + (x^2 - 1) + (x^3 - 1)}{x - 1} = 1 + (x + 1) + (x^2 + x + 1)$$取极限得：
$$\lim_{x\to 1}\left[1 + (x + 1) + (x^2 + x + 1)\right] = 1 + 2 + 3 = 6$$分子有理化：
$$\frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} = \frac{(x + 1) - 4}{(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)} = \frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 2}$$取极限得：
$$\lim_{x\to 3}\frac{1}{\sqrt{x + 1} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$$通分计算：
$$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$$取极限得：
$$\lim_{x\to 1}\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2}$$