习题1.4 无穷小与无穷大
1. 判断题
【题目】
1）在自变量某个变化过程中，某量变得很小很小，则此量为无穷小； （ ）
2）无穷小是个非常小的数； （ ）
3）0是无穷小量； （ ）
4） $\frac{1}{x}$ 是无穷小量. （ ）
【解析】
错误（×）。无穷小是一个以 0 为极限的变量，必须与特定的自变量变化过程相联系，不能简单理解为数值“很小很小”（例如 $10^{-100}$ 很小，但它是常数，不是无穷小）。
错误（×）。无穷小是变量而不是常量，除常数 0 以外的任何确定的常数，无论其绝对值多么小，都不能称为无穷小。
正确（√）。恒等于 0 的常数函数在自变量的任何变化过程中极限都为 0，因此 0 是唯一的常数无穷小量。
错误（×）。未指明自变量的变化过程。只有当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x}$ 才是无穷小量；若 $x \to 0$，$\frac{1}{x}$ 是无穷大量；若 $x \to 1$，$\frac{1}{x} \to 1$ 不是无穷小。
2. 选择题
【题目】
1）函数 $f(x) = x\sin x$ ，则 $f(x)$ 是（ ） A) 当 $x\to \infty$ 时为无穷大 B) 在 $(-\infty , + \infty)$ 内有界 C) 在 $(-\infty , + \infty)$ 内无界 D) 当 $x\rightarrow \infty$ 时有有限极限
2）当 $x \to 0$ 时，变量 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是（ ） A) 无穷小 B) 无穷大 C) 有界的，但不是无穷小 D) 无界的，但不是无穷大
【解析】
- 选 C。
- 取点列 $x_n = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$，当 $n \to \infty$ 时，$x_n \to +\infty$，$f(x_n) = (2n\pi + \frac{\pi}{2})\sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \to +\infty$，说明 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上无界；
- 取点列 $x'_n = n\pi$，当 $n \to \infty$ 时，$x'_n \to +\infty$，$f(x'_n) = n\pi \sin(n\pi) = 0$。因此当 $x \to \infty$ 时，$f(x)$ 的值剧烈振荡，既不是无穷大，也没有有限极限。故正确选项为 C。
- 选 D。
- 取点列 $x_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$，当 $n \to \infty$ 时，$x_n \to 0$，此时： $$\frac{1}{x_n^2}\sin\frac{1}{x_n} = \left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right)^2 \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right)^2 \to +\infty$$ 这表明变量在 $x \to 0$ 的任何邻域内都是无界的；
- 取点列 $x'_n = \frac{1}{n\pi}$，当 $n \to \infty$ 时，$x'_n \to 0$，此时： $$\frac{1}{(x'_n)^2}\sin\frac{1}{x'_n} = (n\pi)^2 \sin(n\pi) = 0$$ 这表明该变量并不满足无穷大“绝对值大于任意大正数”的定义，故它不是无穷大。 因此该变量是无界的，但不是无穷大，正确选项为 D。
3. 直观判断无穷大与无穷小
【题目】
直观判断下列函数在指定的自变量变化过程中, 哪些是无穷大? 那些是无穷小? 判断结果填在后面的括号中：
$\frac{1 + 2x}{x}\ (x\to 0)$ （ ）
$\frac{1 + 2x}{x^2}\ (x\to \infty)$ （ ）
$\cot x\ (x\to 0^{+})$ （ ）
4） $e^{-x}\ (x\to +\infty)$ （ ）
$2^{\frac{1}{x}}\ (x\to 0^{-})$ （ ）
$(-1)^{n}\frac{1}{2^{n}}\ (n\to \infty).$ （ ）
【解析】
当 $x \to 0$ 时，分子 $1 + 2x \to 1$，分母 $x \to 0$，故 $\frac{1 + 2x}{x} \to \infty$。为无穷大。
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1 + 2x}{x^2} = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} \to 0$。为无穷小。
当 $x \to 0^+$ 时，$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \to \frac{1}{0^+} = +\infty$。为无穷大。
当 $x \to +\infty$ 时，$e^{-x} = \frac{1}{e^x} \to 0$。为无穷小。
当 $x \to 0^-$ 时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，故 $2^{\frac{1}{x}} \to 0$。为无穷小。
当 $n \to \infty$ 时，$\left|(-1)^n \frac{1}{2^n}\right| = \frac{1}{2^n} \to 0$。为无穷小。