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Advanced Mathematics
习题册
第一章 函数与极限
习题1.10 闭区间上连续函数的性质

习题1.10 闭区间上连续函数的性质

第1题

【题目】

证明：方程 $x = a\sin x + b\ (a > 0, b > 0)$ 在 $(0, a + b]$ 内至少有一实根.

【解析】

  1. 构造辅助函数：令 $f(x) = x - a\sin x - b$。
  2. 分析连续性：由于 $y = x$、$\sin x$ 及常数函数在实数域上均连续，故 $f(x)$ 在闭区间 $[0, a + b]$ 上连续。
  3. 计算端点函数值并判断符号：
    • 在左端点 $x = 0$ 处： $$f(0) = 0 - a\sin 0 - b = -b$$ 已知 $b > 0$，故 $f(0) = -b < 0$。
    • 在右端点 $x = a + b$ 处： $$f(a + b) = a + b - a\sin(a + b) - b = a[1 - \sin(a + b)]$$ 因为对任意实数 $x$，均有 $\sin x \le 1$，且 $a > 0$，所以： $$f(a + b) = a[1 - \sin(a + b)] \ge 0$$
  4. 分类讨论与应用零点定理：
    • 若 $f(a + b) = 0$，则 $x = a + b \in (0, a + b]$ 本身即为方程的一个实根；
    • 若 $f(a + b) > 0$，结合 $f(0) < 0$，由闭区间上连续函数的零点存在定理可知，至少存在一点 $\xi \in (0, a + b)$ 使得 $f(\xi) = 0$。
  5. 结论：综合上述两种情况，方程 $x = a\sin x + b$ 在 $(0, a + b]$ 内至少有一实根。

第2题

【题目】

利用零点定理证明：方程 $x^{3} - 3x^{2} - x + 3 = 0$ 在区间 $(-2, 0)$，$(0, 2)$，$(2, 4)$ 内各有一个实根.

【解析】

  1. 构造辅助函数与连续性：设 $f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$。$f(x)$ 为多项式函数，在整个实数域 $\mathbb{R}$ 上连续。
  2. 计算各分界点的函数值：
    • $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - (-2) + 3 = -8 - 12 + 2 + 3 = -15 < 0$；
    • $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 0 + 3 = 3 > 0$；
    • $f(2) = 2^3 - 3(2^2) - 2 + 3 = 8 - 12 - 2 + 3 = -3 < 0$；
    • $f(4) = 4^3 - 3(4^2) - 4 + 3 = 64 - 48 - 4 + 3 = 15 > 0$。
  3. 分区间应用零点定理：
    • 在闭区间 $[-2, 0]$ 上，$f(x)$ 连续，且 $f(-2) \cdot f(0) = (-15) \times 3 < 0$。由零点定理，在开区间 $(-2, 0)$ 内至少存在一个实根 $\xi_1$；
    • 在闭区间 $[0, 2]$ 上，$f(x)$ 连续，且 $f(0) \cdot f(2) = 3 \times (-3) < 0$。由零点定理，在开区间 $(0, 2)$ 内至少存在一个实根 $\xi_2$；
    • 在闭区间 $[2, 4]$ 上，$f(x)$ 连续，且 $f(2) \cdot f(4) = (-3) \times 15 < 0$。由零点定理，在开区间 $(2, 4)$ 内至少存在一个实根 $\xi_3$。
  4. 根的唯一性说明：方程为三次多项式方程，在实数域内至多有 3 个实根。由于开区间 $(-2, 0)$、$(0, 2)$、$(2, 4)$ 两两互不相交，因此方程在上述三个区间内各恰好有一个实根。
  5. (注：实际上方程可因式分解为 $(x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0$，三个根分别为 $-1 \in (-2, 0)$、$1 \in (0, 2)$、$3 \in (2, 4)$，与定理证明结论完全一致。)

第3题

【题目】

设函数 $f(x)$ 在 $[0, 2a]$ 上连续，$a > 0$，$f(0) = f(2a)$，$f(a) \neq f(0)$，证明：至少有一点 $\xi \in (0, a)$，使得 $f(\xi) = f(\xi + a)$.

【解析】

  1. 构造辅助函数：令 $F(x) = f(x + a) - f(x)$，定义域为闭区间 $[0, a]$。
  2. 分析连续性：因为 $f(x)$ 在 $[0, 2a]$ 上连续，且当 $x \in [0, a]$ 时，$x \in [0, a] \subset [0, 2a]$ 且 $x + a \in [a, 2a] \subset [0, 2a]$，所以复合函数 $f(x + a)$ 与 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上均连续。因此，$F(x)$ 在闭区间 $[0, a]$ 上连续。
  3. 计算区间两端点的值：
    • 在左端点 $x = 0$ 处： $$F(0) = f(a) - f(0)$$
    • 在右端点 $x = a$ 处： $$F(a) = f(2a) - f(a)$$ 已知条件给出 $f(2a) = f(0)$，将其代入 $F(a)$ 中得： $$F(a) = f(0) - f(a) = -[f(a) - f(0)] = -F(0)$$
  4. 判断符号异号：由上式可得 $$F(0) \cdot F(a) = -[f(a) - f(0)]^2$$ 已知 $f(a) \neq f(0)$，故 $f(a) - f(0) \neq 0$，从而 $[f(a) - f(0)]^2 > 0$。因此 $$F(0) \cdot F(a) < 0$$ 即 $F(0)$ 与 $F(a)$ 异号。
  5. 应用零点定理：由零点存在定理，在开区间 $(0, a)$ 内至少存在一点 $\xi \in (0, a)$，使得 $$F(\xi) = 0$$ 即 $$f(\xi + a) - f(\xi) = 0 \implies f(\xi) = f(\xi + a)$$ 证毕。
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