习题1.2-1.3 数列极限与函数极限
1. 求极限并说明存在性
【题目】
求 $f(x) = \frac{x}{x}$, $\varphi(x) = \frac{|x|}{x}$ 当 $x \to 0$ 时的左、右极限，并说明它们在 $x \to 0$ 时的极限是否存在.
【解析】
- 对函数 $f(x) = \frac{x}{x}$： 当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = 1$。
- 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 1 = 1$；
- 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$。
因为 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$，所以 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在，且 $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$。
- 对函数 $\varphi(x) = \frac{|x|}{x}$：
- 当 $x < 0$ 时，$|x| = -x$，故 $\varphi(x) = \frac{-x}{x} = -1$。因此左极限： $$\lim_{x \to 0^-} \varphi(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$$
- 当 $x > 0$ 时，$|x| = x$，故 $\varphi(x) = \frac{x}{x} = 1$。因此右极限： $$\lim_{x \to 0^+} \varphi(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$$
因为左、右极限不相等（$-1 \neq 1$），所以 $\lim_{x \to 0} \varphi(x)$ 不存在。
2. 函数图形与分界点极限讨论
【题目】
作出函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x - 1}, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$ 的图形，并说明当 $x \to 0$， $x \to 1$ 时函数极限是否存在，为什么？
【解析】
- 函数图形特征：
- 当 $x < 0$ 时，$y = \frac{1}{x-1}$ 为双曲线的一支，在区间 $(-\infty, 0)$ 内单调递减，过点 $(-1, -1/2)$，当 $x \to 0^-$ 时趋近于 $-1$（空心点 $(0, -1)$）；
- 当 $0 \leq x < 1$ 时，$y = x$ 为过原点的直线段，端点为实心点 $(0, 0)$ 和空心点 $(1, 1)$；
- 当 $x \geq 1$ 时，$y = 1$ 为平行于 $x$ 轴的射线，起点为实心点 $(1, 1)$。
- 考察 $x \to 0$ 时的极限：
- 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{0 - 1} = -1$；
- 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$。
因为左极限不等于右极限（$-1 \neq 0$），所以当 $x \to 0$ 时，函数极限 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在。
- 考察 $x \to 1$ 时的极限：
- 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1$；
- 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 1 = 1$。
因为左极限等于右极限且均等于 1，所以当 $x \to 1$ 时，函数极限存在，且 $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$。
3. 指数型函数极限的存在性
【题目】
讨论函数极限 $\lim_{x\to 0}e^{\frac{1}{x}}$ 的存在性.
【解析】
考虑自变量 $x$ 从两侧趋于 0 时的单侧极限：
- 当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，故： $$\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty$$
- 当 $x \to 0^-$ 时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，故： $$\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0$$
由于右极限不存在（趋于无穷大），且左、右极限不相等，所以极限 $\lim_{x\to 0}e^{\frac{1}{x}}$ 不存在。
4. 用极限定义证明
【题目】
利用函数极限定义证明： $\lim_{x\to 5}\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5} = 4.$
【解析】
证明：
函数 $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5}$ 在 $x \neq 5$ 时有定义。对分子进行因式分解：
$$\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5} = \frac{(x - 5)(x - 1)}{x - 5} = x - 1$$考察差的绝对值：
$$|f(x) - 4| = |(x - 1) - 4| = |x - 5|$$对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$。 当 $0 < |x - 5| < \delta$ 时，恒有：
$$|f(x) - 4| = |x - 5| < \delta = \varepsilon$$由函数极限的 $\varepsilon - \delta$ 定义知，
$$\lim_{x\to 5}\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5} = 4$$证毕。