习题1.1 函数
1. 判断下列函数是否相同
【题目】
- $f(x) = \frac{x}{x},\ g(x) = 1;$ （ ）
- $f(x) = \lg x^{2},\ g(x) = 2\lg x;$ （ ）
- $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x,\ g(x) = 1;$ （ ）
- $f(x) = \sqrt{(1 - x)^2},\ g(x) = 1 - x;$ （ ）
- $f(x) = x,\ g(x) = \sin(\arcsin x).$ （ ）
【解析】
判断两个函数是否相同的充要条件是：定义域相同且对应法则相同。
- $f(x) = \frac{x}{x}$ 的分母不能为 0，定义域为 $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0\} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$；
- $g(x) = 1$ 为常数函数，定义域为 $D_g = \mathbb{R}$。
两函数定义域不同，故不相同。（否）
- $f(x) = \lg x^2$ 要求真数 $x^2 > 0$，定义域为 $D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0\}$；
- $g(x) = 2\lg x$ 要求真数 $x > 0$，定义域为 $D_g = (0, +\infty)$。
两函数定义域不同，故不相同。（否）
- $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且由同角三角函数平方和公式知，对任意 $x \in \mathbb{R}$，恒有 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$；
- $g(x) = 1$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且函数值恒为 1。
两函数定义域相同，对应法则相同，故相同。（是）
- $f(x) = \sqrt{(1 - x)^2}$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且根据算术平方根的性质，$f(x) = |1 - x|$；
- $g(x) = 1 - x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$。
当 $x > 1$ 时，$1 - x < 0$，$f(x) = x - 1 \neq 1 - x = g(x)$。两函数对应法则不同，故不相同。（否）
- $f(x) = x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$；
- 对于 $g(x) = \sin(\arcsin x)$，由于反正弦函数 $\arcsin x$ 仅在 $[-1, 1]$ 上有定义，故 $g(x)$ 的定义域为 $D_g = [-1, 1]$。
两函数定义域不同，故不相同。（否）
2. 确定下列函数的定义域
【题目】
- $f(x) = \arcsin(x + 1) + \ln(1 - x^2);$
- $f(x) = \sqrt{3 - x} + \arctan\frac{1}{x}.$
【解析】
- 函数由反正弦函数和对数函数相加组成，自变量 $x$ 需同时满足各部分的定义条件：
- 反正弦函数要求自变量满足： $$-1 \leq x + 1 \leq 1 \implies -2 \leq x \leq 0$$
- 对数函数要求真数大于 0： $$1 - x^2 > 0 \implies x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$$
联立不等式组：
$$\begin{cases} -2 \leq x \leq 0 \\ -1 < x < 1 \end{cases} \implies -1 < x \leq 0$$故该函数的定义域为 $(-1, 0]$。
- 自变量 $x$ 需同时满足各部分的定义条件：
- 偶次根式要求被开方数非负： $$3 - x \geq 0 \implies x \leq 3$$
- 反正切函数中的自变量为分式，要求分母不为 0： $$x \neq 0$$
联立得：
$$\begin{cases} x \leq 3 \\ x \neq 0 \end{cases} \implies x \in (-\infty, 0) \cup (0, 3]$$故该函数的定义域为 $(-\infty, 0) \cup (0, 3]$。
3. 求下列函数的反函数
【题目】
- $y = \frac{2^x}{2^x + 1};$
- $y = \begin{cases} x^2 - 1, & 0 \leq x \leq 1, \\ x^2, & -1 \leq x < 0. \end{cases}$
【解析】
- 确定原函数的值域（反函数的定义域）：
- 因为对任意 $x \in \mathbb{R}$，指数函数恒满足 $2^x > 0$，所以： $$0 < \frac{2^x}{2^x + 1} < \frac{2^x + 1}{2^x + 1} = 1$$ 即原函数的值域为 $(0, 1)$。
- 从方程中解出自变量 $x$： $$y(2^x + 1) = 2^x \implies y \cdot 2^x + y = 2^x$$ $$2^x(1 - y) = y \implies 2^x = \frac{y}{1 - y}$$
- 两边取以 2 为底的对数： $$x = \log_2\left(\frac{y}{1 - y}\right)$$
- 交换自变量与因变量符号，原函数的反函数为： $$y = \log_2\left(\frac{x}{1 - x}\right),\quad x \in (0, 1)$$
- 分段求解反函数：
- 当 $0 \leq x \leq 1$ 时： $$y = x^2 - 1$$ 此时 $x^2 \in [0, 1]$，故 $y \in [-1, 0]$。解方程得 $x^2 = y + 1$。因为 $x \geq 0$，取非负算术根： $$x = \sqrt{y + 1}$$
- 当 $-1 \leq x < 0$ 时： $$y = x^2$$ 此时 $x^2 \in (0, 1]$，故 $y \in (0, 1]$。解方程得 $x^2 = y$。因为 $x < 0$，取负平方根： $$x = -\sqrt{y}$$
交换自变量与因变量符号，合并得各分段的反函数为：
$$y = \begin{cases} \sqrt{x + 1}, & -1 \leq x \leq 0, \\ -\sqrt{x}, & 0 < x \leq 1. \end{cases}$$4. 复合函数求值
【题目】
设函数 $f(x) = \begin{cases} 1, & |x| \leq 1, \\ 0, & |x| > 1, \end{cases}$ $g(x) = \begin{cases} 2 - x^2, & |x| \leq 1, \\ 2, & |x| > 1, \end{cases}$ 求 $f(g(x)), g(f(x)).$
【解析】
- 求 $f(g(x))$： 外层函数定义为： $$f(u) = \begin{cases} 1, & |u| \leq 1 \\ 0, & |u| > 1 \end{cases}$$ 故有： $$f(g(x)) = \begin{cases} 1, & |g(x)| \leq 1 \\ 0, & |g(x)| > 1 \end{cases}$$
考察内层函数 $g(x)$ 的取值情况：
- 当 $|x| > 1$ 时，$g(x) = 2$。此时 $|g(x)| = 2 > 1$，代入得 $f(g(x)) = 0$；
- 当 $|x| \leq 1$ 时，$g(x) = 2 - x^2$。因为 $0 \leq x^2 \leq 1$，所以 $1 \leq 2 - x^2 \leq 2$，即 $1 \leq g(x) \leq 2$。
- 若 $|g(x)| \leq 1$，结合 $g(x) \geq 1$，必须满足 $g(x) = 1$，即 $2 - x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies |x| = 1$。此时 $f(g(x)) = 1$；
- 若 $|x| < 1$，则 $0 \leq x^2 < 1 \implies 1 < g(x) \leq 2$，此时 $|g(x)| > 1$，故 $f(g(x)) = 0$。
综合上述分析：
$$f(g(x)) = \begin{cases} 1, & |x| = 1, \\ 0, & |x| \neq 1. \end{cases}$$- 求 $g(f(x))$： 外层函数定义为： $$g(u) = \begin{cases} 2 - u^2, & |u| \leq 1 \\ 2, & |u| > 1 \end{cases}$$
考察内层函数 $f(x)$ 的取值情况：
- 当 $|x| \leq 1$ 时，$f(x) = 1$。此时 $|f(x)| = 1 \leq 1$，代入外层函数第一段： $$g(f(x)) = 2 - [f(x)]^2 = 2 - 1^2 = 1$$
- 当 $|x| > 1$ 时，$f(x) = 0$。此时 $|f(x)| = 0 \leq 1$，代入外层函数第一段： $$g(f(x)) = 2 - [f(x)]^2 = 2 - 0^2 = 2$$
综合上述分析：
$$g(f(x)) = \begin{cases} 1, & |x| \leq 1, \\ 2, & |x| > 1. \end{cases}$$