模拟试题二 | Hengkai Yao | AI Ocean Scientist

模拟试题二

【题目】

【解析】

$\lim_{x\to 0}(1 + 2x)^{\frac{1}{\sin x}} = \lim_{x\to 0}\left[(1 + 2x)^{\frac{1}{2x}}\right]^{\frac{2x}{\sin x}} = e^2$。
$f'(x) = 4x + \frac{1}{x}, f''(x) = 4 - \frac{1}{x^2} \implies f''(1) = 3$。
两边微分：$ydx + xdy = e^{x+y}(dx + dy) \implies dy = \frac{e^{x+y} - y}{x - e^{x+y}}dx$（或 $\frac{xy - y}{x - xy}dx$）。
$\int \frac{f(\ln x)}{x}dx = \int f(\ln x)d(\ln x) = e^{2\ln x} + C = x^2 + C$。
特征方程 $r^2 + 2r + 1 = 0 \implies r_1 = r_2 = -1$。通解为 $y = (C_1 + C_2 x)e^{-x}$。

【题目】

当 $x \to 0^{+}$ 时，与 $x$ 等价的无穷小量是（）； A) $2\sin x$ B) $x^{3}(x + 1)$ C) $\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}$ D) $\sqrt{x}$
由原点(0,0)向曲线 $y = \ln x$ 作切线，则切线方程为（）； A) $y = \frac{x}{e}$ B) $y = x$ C) $y = 2x$ D) $y = ex$
$\int \frac{x^2}{1 + x^2} dx =$ （）; A) $x - \arcsin x + C$ B) $x + \arctan x + C$ C) $\arcsin x + C$ D) $x - \arctan x + C$
函数 $f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\sqrt{1-t}dt$ 在 x=0 处（）； A）没有极值 B）取极大值 0 C）取极小值 0 D）取极小值 1
方程 $y''-6y'+9y=x^{2}-1$ 的一个特解具有形式（）. A) $a(x^{2}-6x+9)$ B) $ax^{2}+bx+c$ C) $x(ax^{2}+bx+c)$ D) $x^{2}(ax^{2}+bx+c)$

【解析】

选 C。$\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x} \sim \frac{1}{2}x - (-\frac{1}{2}x) = x$。
选 A。切点 $(x_0, \ln x_0)$，切线 $y = \frac{1}{x_0}(x - x_0) + \ln x_0$ 过原点 $\implies \ln x_0 = 1 \implies x_0 = e$。切线为 $y = \frac{x}{e}$。
选 D。$\int (1 - \frac{1}{1+x^2})dx = x - \arctan x + C$。
选 C。$f'(x) = 2x\sqrt{1 - x^2}$，在 $x = 0$ 处由负变正，取极小值 $f(0) = 0$。
选 B。$\lambda = 0$ 不是特征根，多项式次数为 2，特解形式为 $ax^2 + bx + c$。

【题目】

求极限 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x\cos x}{x\ln(1 + x^2)};$
设函数 $f(x)=\begin{cases}x+b,&x<1\\ ax^{2},&x\geq1\end{cases}$ 在 x=1 处可导，求 a,b 的值，并求 $f'(x)$ ;
求由参数方程 $\begin{cases} x = \ln (1 + t^2) \\ y = t^2 + \arctan t \end{cases}$ 所确定函数 $y = y(x)$ 的一阶及二阶导函数.

【解析】

分母 $x\ln(1 + x^2) \sim x^3$。洛必达法则：
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{x\sin x}{3x^2} = \frac{1}{3}$$
连续性：$a = 1 + b \implies b = a - 1$。导数：$f'_+(1) = 2a, f'_-(1) = 1 \implies a = \frac{1}{2}, b = -\frac{1}{2}$。
$$f'(x) = \begin{cases} 1, & x < 1 \\ x, & x \geq 1 \end{cases}$$
$\frac{dx}{dt} = \frac{2t}{1 + t^2}, \frac{dy}{dt} = 2t + \frac{1}{1 + t^2}$。
$$\frac{dy}{dx} = t^2 + \frac{1}{2t} + 1$$
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2t - \frac{1}{2t^2}}{\frac{2t}{1 + t^2}} = \frac{(4t^3 - 1)(1 + t^2)}{4t^3}$$

【题目】

【解析】

令 $t = \sqrt{e^x - 1} \implies e^x = 1 + t^2, dx = \frac{2t}{1 + t^2}dt$：
$$\int \frac{(1 + t^2)\ln(1 + t^2)}{t} \cdot \frac{2t}{1 + t^2}dt = 2\int \ln(1 + t^2)dt = 2t\ln(1 + t^2) - 4t + 4\arctan t + C$$
$$= 2x\sqrt{e^x - 1} - 4\sqrt{e^x - 1} + 4\arctan\sqrt{e^x - 1} + C$$
令 $t = \sqrt{x}, dx = 2tdt$：
$$\int_1^3 \frac{2tdt}{t^2 + t} = 2\int_1^3 \frac{dt}{t + 1} = 2[\ln(t + 1)]_1^3 = 2(\ln 4 - \ln 2) = 2\ln 2$$
标准化：$y' + \frac{1}{x\ln x}y = \frac{2}{x}$。积分因子为 $\ln x$。通解为：
$$y = \frac{1}{\ln x}(\ln^2 x + C)$$

【题目】

列表求函数 $y = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 3$ 的单调区间、极值、凹凸区间及拐点.

【解析】

$y' = 3(x - 1)(x - 3)$，驻点 $x = 1, 3$。 $y'' = 6(x - 2)$，拐点候选点 $x = 2$。

【题目】

从点 $(0, 3)$ 向抛物线 $y = 2 - x^{2}$ 作两条切线，设切线和抛物线所围平面图形为 D，试求：

【解析】

切点 $(x_0, 2 - x_0^2)$，切线 $y - (2 - x_0^2) = -2x_0(x - x_0)$。过 $(0, 3) \implies x_0 = \pm 1$。切线方程为 $y = -2x + 3$ 和 $y = 2x + 3$。
面积：$S = 2\int_0^1 [(-2x + 3) - (2 - x^2)]dx = 2\int_0^1 (x^2 - 2x + 1)dx = \frac{2}{3}$。
体积：$V_x = 2\pi \int_0^1 [(-2x + 3)^2 - (2 - x^2)^2]dx = \frac{44}{15}\pi$。

【题目】

证明：当 $x > 1$ 时， $(x + 1)\ln x > 2(x - 1)$ ；
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0,\quad f(1)=1$ ，试证明：（1）在(0,1)内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi) = 1 - \xi$；（2）在 $(\xi,1)$ 内至少存在一点 $\eta$ ，使得 $\frac{\xi}{1 - \xi} = f'(\eta)$ .

【解析】

证明： 设 $f(x) = (x + 1)\ln x - 2(x - 1)$。$f'(x) = \ln x + \frac{1}{x} - 1$，$f''(x) = \frac{x - 1}{x^2} > 0\ (x > 1)$。 $f'(x)$ 单调递增，$f'(x) > f'(1) = 0$。故 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递增，$f(x) > f(1) = 0$。证毕。
证明： (1) 令 $F(x) = f(x) + x - 1$。$F(0) = -1 < 0, F(1) = 1 > 0$。由零点定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得 $F(\xi) = 0 \implies f(\xi) = 1 - \xi$。 (2) 在 $[\xi, 1]$ 上应用拉格朗日中值定理：存在 $\eta \in (\xi, 1)$ 使得 $f'(\eta) = \frac{f(1) - f(\xi)}{1 - \xi} = \frac{1 - (1 - \xi)}{1 - \xi} = \frac{\xi}{1 - \xi}$。证毕。