第7节 无穷小的比较和等价无穷小替换
一、基础题
1 求下列极限
(1) $\lim_{x\to 0}\frac{\arctan 3x}{\sin 4x}$
解答：
$$\arctan 3x \sim 3x,\quad \sin 4x \sim 4x$$$$\lim_{x\to 0}\frac{3x}{4x}=\frac34$$(2) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^{n})}{(\sin x)^{m}}$（m,n为正整数）
解答：
$$\sin(x^n)\sim x^n,\quad \sin x \sim x$$$$(\sin x)^m \sim x^m$$$$\lim_{x\to 0}\frac{x^n}{x^m}= \begin{cases} 0, & n > m\\ 1, & n = m\\ \infty, & n < m \end{cases}$$(3) $\lim_{x\to 1}\frac{\arcsin(1-x)}{\ln x}$
解答：
令$t=1-x\to 0$，则$x=1-t$
$$\arcsin t \sim t,\quad \ln(1-t)\sim -t$$$$\lim_{t\to 0}\frac{t}{-t}=-1$$(4) $\lim_{x\to 0}\frac{x^{5}+x^{2}}{\sin^{2}x}$
解答：
$$\sin x \sim x \Rightarrow \sin^{2}x \sim x^{2}$$$$\frac{x^{5}+x^{2}}{x^{2}} = 1 + x^{3}$$$$\lim_{x\to 0}(1+x^{3})=1$$(5) $\lim_{x\to 0}\frac{x\arcsin x}{e^{-x^{2}}-1}$
解答：
$$\arcsin x \sim x \Rightarrow x\arcsin x \sim x^{2}$$$$e^{-x^{2}}-1 = -(x^{2}+\tfrac12 x^{4}+\cdots)\sim -x^{2}$$$$\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}}{-x^{2}}=-1$$(6) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - \tan x}{(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$
解答：
先化简分子：
$$\sin x - \tan x = \sin x - \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x\left(1-\frac1{\cos x}\right)$$$$1-\frac1{\cos x} = \frac{\cos x -1}{\cos x} \sim \frac{-\tfrac12 x^{2}}{1} = -\frac12 x^{2}$$$$\sin x \sim x \Rightarrow \sin x - \tan x \sim -\frac12 x^{3}$$再看分母：
$$\sqrt[3]{1+x^{2}} -1 \sim \frac13 x^{2}$$$$\sqrt{1+\sin x}-1 \sim \frac12 \sin x \sim \frac12 x$$故分母：
$$\left(\frac13 x^{2}\right)\left(\frac12 x\right)=\frac16 x^{3}$$极限：
$$\frac{-\tfrac12 x^{3}}{\tfrac16 x^{3}} = -3$$2 当$x\to 0$时，指出下列函数关于x的无穷小的阶数：
(1) $x^{2}+x^{4}$
解答：主导项为$x^{2}$，故为二阶无穷小。
(2) $\tan x - \sin x$
解答：
$$\tan x-\sin x \sim \left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)-\left(x-\frac{x^{3}}{6}\right)=\frac{x^{3}}{2}$$为三阶无穷小。
(3) $\ln(1+\sin x)$
解答：
$$\sin x \sim x,\quad \ln(1+x)\sim x$$故为一阶无穷小。
(4) $\frac{x^{6}}{1-\sqrt{\cos x^{2}}}$
解答：
$$\cos x^{2}\sim 1-\frac{x^{4}}{2} \Rightarrow \sqrt{\cos x^{2}} \sim 1 - \frac14 x^{4}$$$$1-\sqrt{\cos x^{2}} \sim \frac14 x^{4}$$$$\frac{x^{6}}{x^{4}}=x^{2}$$故为二阶无穷小。
3 选取合适的$p(p>0)$值，使
$$\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x} \sim x^{p} (x\to 0)$$解答：
$$\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x} \approx \frac{(\tan x)+(\sin x)}{2} \sim \frac{x+\frac{x^{3}}{3}+x-\frac{x^{3}}{6}}{2} = x + O(x^{3})$$主导项为$x$，所以$p=1$。
二、考研真题
4 (2022301)当x->0时，a(x)，B(x)是非零无穷小，现有以下4个命题：
① α∼β ⇒ α²∼β²：正确。
② α²∼β² ⇒ α∼β：错误（可能符号相反）。
③ α∼β ⇒ α−β=o(α)：正确。
④ α−β=o(α) ⇒ α∼β：正确。
下面逐条解释命题 ①②③④ 的逻辑原因。所有论证均基于无穷小等价的定义：
$$\alpha(x)\sim \beta(x)\iff \lim_{x\to 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1.$$① 若 $\alpha(x)\sim \beta(x)$，则 $\alpha^2(x)\sim \beta^2(x)$（正确） 已知：
$$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\to 1.$$两边平方：
$$\left(\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\right)^2 \to 1^2=1.$$即：
$$\frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)}\to 1,$$这就是 $\alpha^2(x)\sim \beta^2(x)$ 的定义，所以命题正确。
② 若 $\alpha^2(x)\sim \beta^2(x)$，则 $\alpha(x)\sim \beta(x)$（错误） 已知：
$$\frac{\alpha^2}{\beta^2}\to 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \left|\frac{\alpha}{\beta}\right|\to 1.$$但是“绝对值趋于 1”只表示：
$$\frac{\alpha}{\beta}\to 1 \quad \text{或} \quad \frac{\alpha}{\beta}\to -1.$$也就是说，$\alpha$ 和 $\beta$ 可能是等价无穷小，也可能符号相反但大小相同： 例：
$$\alpha(x)=x,\quad \beta(x)=-x,$$则：
$$\frac{\alpha^2}{\beta^2}=1,$$但：
$$\frac{\alpha}{\beta}=-1 \ne 1,$$所以 $\alpha\not\sim \beta$。因此命题错误。
③ 若 $\alpha(x)\sim \beta(x)$，则 $\alpha(x)-\beta(x)=o[\alpha(x)]$（正确） 已知 $\alpha\sim \beta$，即：
$$\frac{\alpha}{\beta}\to 1.$$考虑差：
$$\alpha - \beta = \beta\left(\frac{\alpha}{\beta}-1\right).$$而 $\frac{\alpha}{\beta}-1\to 0$，同时 $\beta\sim \alpha$，所以：
$$\alpha - \beta = \alpha\cdot \left(\frac{\alpha}{\beta}-1\right)\cdot \frac{\beta}{\alpha}$$其中：
$$\frac{\beta}{\alpha}\to 1,\quad \frac{\alpha}{\beta}-1\to 0.$$因此：
$$\alpha - \beta = o(\alpha).$$命题正确。
④ 若 $\alpha(x)-\beta(x)=o[\alpha(x)]$，则 $\alpha(x)\sim \beta(x)$（正确） 已知：
$$\alpha - \beta = o(\alpha),$$即：
$$\frac{\alpha-\beta}{\alpha}\to 0.$$整理：
$$\frac{\beta}{\alpha} = 1 - \frac{\alpha-\beta}{\alpha} \to 1 - 0 = 1.$$于是：
$$\frac{\alpha}{\beta} \to 1.$$这就是 $\alpha(x)\sim \beta(x)$ 的定义，因此命题正确。
答案：①③④
5 设$α₁=x(\cos\sqrt{x}-1)$，$α₂=\sqrt{x}\ln(1+\sqrt[3]{x})$，$α₃=\sqrt[3]{x+1}-1$,当$x\to 0^{+}$时,上3个无穷小按照从低阶到高阶的排序是:
分别展开：
$$\cos\sqrt{x}-1 \sim -\frac{x}{2} \Rightarrow \alpha_{1}\sim -\frac{x^{2}}{2}$$$$\ln(1+\sqrt[3]{x}) \sim \sqrt[3]{x} \Rightarrow \alpha_{2} \sim x^{1/2} x^{1/3}=x^{5/6}$$$$\alpha_{3}=\sqrt[3]{1+x}-1 \sim \frac13 x$$比较阶数：
$$x^{2} \text{ 最大阶； } x \text{ 次之； } x^{5/6} \text{ 最低阶}$$从低阶到高阶：$\alpha_{2},\,\alpha_{3},\,\alpha_{1}$