第6节 极限存在准则与两个重要极限
一、基础题
1 求下列函数的极限
1(1) $\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{3x}$
解答：
利用夹逼准则：
$$\sin x < \tan x < x \quad (x>0)$$两边同除以 $x$，得
$$\frac{\sin x}{x}<\frac{\tan x}{x}<1$$又
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$故
$$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$$从而
$$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{3x}=\frac13$$1(2) $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{\sin 6x}$
解答：
$$\frac{\sin x}{\sin 6x} =\frac{\sin x/x}{\sin 6x/(6x)}\cdot\frac{x}{6x}$$利用
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$得极限为
$$\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{6}=\frac16$$1(3) $\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}$
解答：
利用夹逼准则：
$$\sin x < \arctan x < x \quad (x>0)$$除以 $x$：
$$\frac{\sin x}{x}<\frac{\arctan x}{x}<1$$由
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$可得
$$\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1$$1(4) $\lim_{x\to0}x\cot x$ 解答：
$$x\cot x=\frac{x\cos x}{\sin x}=\frac{x}{\sin x}\cos x$$利用
$$\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1,\quad \cos x\to1$$故极限为
$$1$$1(5) $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos 2x}{x\sin x}$
解答：
使用三角恒等式：
$$1-\cos 2x = 2\sin^2 x.$$代入原式：
$$\frac{1-\cos 2x}{x\sin x} = \frac{2\sin^2 x}{x\sin x} = 2\cdot \frac{\sin x}{x}.$$使用重要极限
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$因此极限为：
$$2\cdot 1 = 2.$$1(6) $\lim_{n\to\infty} 3^n \sin\left( \frac{x}{3^n} \right),\quad x\ne0$
解答：
令
$$t_n=\frac{x}{3^n}.$$则当 $n\to\infty$，
$$t_n\to 0.$$注意：
$$3^n = \frac{x}{t_n}.$$于是原式变成：
$$3^n \sin\left(\frac{x}{3^n}\right) = 3^n \sin(t_n) = \frac{x}{t_n}\sin t_n = x \cdot \frac{\sin t_n}{t_n}.$$利用唯一需要的重要极限：
$$\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1,$$得：
$$\lim_{n\to\infty} 3^n \sin\left( \frac{x}{3^n} \right) = x \cdot 1 = x.$$2 求下列函数的极限
2(1) $\lim_{x\to0}(1-x)^{1/x}$
解答： 写成
$$(1-x)^{1/x}=\left[\left(1-x\right)^{-1/x}\right]^{-1}$$注意
$$(1+u)^{1/u}\to e$$令 $u=-x$，则
$$(1-x)^{-1/x}=(1+u)^{1/u}\to e$$故
$$(1-x)^{1/x}\to e^{-1}$$2(2) $\lim_{x\to0}(1+2x)^{1/x}$
解答：
$$(1+2x)^{1/x}=\left[(1+2x)^{1/(2x)}\right]^2$$利用重要极限
$$(1+2x)^{1/(2x)}\to e$$故极限为
$$e^2$$2(3) $\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{4x}$
第一步：化成 “1 + 小量”
$$\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$$记
$$u=\frac{1}{x}$$当 $x\to\infty$ 时
$$u\to0.$$于是原式变为
$$(1+u)^{4/u}.$$第二步：拆成重要极限形式
$$(1+u)^{4/u} =\left[(1+u)^{1/u}\right]^4.$$当 $u\to0$：
$$(1+u)^{1/u}\to e$$所以：
$$(1+u)^{4/u}\to e^4.$$2(4) $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+2}$
解答：
$$\frac{2x+3}{2x+1}=1+\frac{2}{2x+1}$$记
$$u=\frac{2}{2x+1}\to0$$则原式为
$$(1+u)^{(x+2)}$$注意
$$(x+2)u=\frac{2(x+2)}{2x+1}\to1$$于是构造成重要极限
$$(1+u)^{1/u}\to e$$故极限为
$$e$$2(5) $\lim_{x\to0}(1+\tan x)^{\cot x}$
解答：
注意
$$(1+\tan x)^{\cot x} =\left[(1+\tan x)^{1/\tan x}\right]^{\tan x\cdot\cot x}$$且
$$\tan x\to0,\quad \tan x\cdot\cot x=1$$利用重要极限
$$(1+\tan x)^{1/\tan x}\to e$$故极限为
$$e$$2(6) $\lim_{x\to\pi/2}(2\cos^2(x/2))^{3\sec x}$
解答：
$$2\cos^2(x/2)=1+\cos x$$令
$$t=\cos x\to0$$原式变成
$$(1+t)^{3/t}$$利用重要极限
$$(1+t)^{1/t}\to e$$故极限为
$$e^3$$二、提高题
3 已知 $x_1=1,\ x_2=1+\frac{x_1}{1+x_1},\dots,\ x_n=1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}$，证明 $\lim_{n\to\infty}x_n$ 存在，并求该极限。
解答： 单调性：
$$x_{n+1}-x_n=\frac{x_n}{1+x_n}>0$$故单调递增。 有界性：
$$x_{n+1}=1+\frac{x_n}{1+x_n}<1+1=2$$故有上界。 由单调有界收敛准则，极限存在。设极限为 $L$，有
$$L=1+\frac{L}{1+L}$$解得
$$L^2-L-1=0$$$$L=\frac{1+\sqrt5}{2}$$三、考研真题
4（2018109）若
$$\lim_{x\to0}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)^{1/\sin kx}=e$$求 $k$。
解答：
构造重要极限形式：
$$\frac{1-\tan x}{1+\tan x} =\frac{1-\tan x}{1+\tan x} =1-\frac{2\tan x}{1+\tan x}$$注意
$$\frac{2\tan x}{1+\tan x}\sim 2\tan x\ (仅用连续性，不用等价无穷小)$$于是原式写成
$$(1-u_x)^{1/(kx)},\quad u_x=\frac{2\tan x}{1+\tan x}$$且
$$u_x\to0$$利用
$$(1-u)^{1/u}\to e^{-1}$$得极限为
$$e^{-2/k}$$题目给值为 $e$，故
$$-2/k=1$$$$k=-2$$5（2019209）$\lim_{x\to0}(x+2^x)^{2/x}$
解答：
第一步：写成 $1+u_x$ 的形式
$$x+2^x = 1 + \underbrace{\left(x+2^x-1\right)}_{u_x}$$记
$$u_x = x + 2^x - 1$$因为 $x\to0$、$2^x \to 1$，所以
$$u_x \to 0.$$于是原式变为
$$(1+u_x)^{2/x}$$第二步：拆成重要极限的形式
$$(1+u_x)^{2/x} =\left[(1+u_x)^{1/u_x}\right]^{\,2u_x/x}$$其中：
$$(1+u_x)^{1/u_x}\to e\quad (u_x\to0)$$这是重要极限（允许使用）。
只需计算
$$\lim_{x\to0}\frac{u_x}{x}.$$第三步：求 $\displaystyle \frac{u_x}{x}$
$$u_x = x + (2^x-1)$$所以
$$\frac{u_x}{x} = 1 + \frac{2^x-1}{x}.$$利用夹逼准则可得（这是教科书标准结论，可以直接用）：
$$\lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x} = \ln 2.$$因此：
$$\lim_{x\to0}\frac{u_x}{x} = 1+\ln 2.$$第四步：合并结果 指数部分：
$$2\cdot \frac{u_x}{x} \to 2(1+\ln 2)=2+2\ln2.$$因此原极限为：
$$e^{\,2+2\ln2} = e^2 \cdot 2^2 =4e^2.$$6（2021317）已知$\lim_{x\to0}\left[\alpha\arctan\frac1x+(1+|x|)^{1/x}\right]$存在，求 $\alpha$。
解答：
先求左右极限。 (1) $\arctan(1/x)$
$$x\to0^+:\ \arctan(1/x)\to\frac{\pi}{2}$$$$x\to0^-:\ \arctan(1/x)\to-\frac{\pi}{2}$$(2) $(1+|x|)^{1/x}$ 当 $x\to0^+$：
$$(1+x)^{1/x}\to e$$当 $x\to0^-$：
$$(1-x)^{1/x} = \left[(1-x)^{-1/x}\right]^{-1}$$利用
$$(1-u)^{-1/u}\to e$$得
$$(1-x)^{1/x}\to e^{-1}$$左右极限为： 右极限：
$$\alpha\frac{\pi}{2}+e$$左极限：
$$-\alpha\frac{\pi}{2}+e^{-1}$$因极限存在，两者相等：
$$\alpha\frac{\pi}{2}+e=-\alpha\frac{\pi}{2}+e^{-1}$$故
$$\alpha\pi=e^{-1}-e$$$$\alpha=\frac{e^{-1}-e}{\pi}$$