第4节 无穷小与无穷大
一、基础题
1 根据无穷小的定义证明
(1) 函数 $y=\frac{x^2-4}{x+2}$ 当 $x\to 2$ 时为无穷小；
解答：
$$y=\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2.$$当 $x\to 2$ 时，显然 $x-2\to 0$，因此 $y\to 0$，即为无穷小。
(2) 函数 $y=x\sin \frac{1}{x}$ 当 $x\to 0$ 时为无穷小。
解答：
因为 $\left|\sin \frac{1}{x}\right|\le 1$，故
$$|y|=|x\sin \tfrac{1}{x}|\le |x|.$$当 $x\to 0$ 时，$|x|\to 0$，根据夹逼准则可知 $|y|\to 0$，因此 $y$ 为无穷小。
2 根据定义证明：当 $x\to 0$ 时，函数 $y=\frac{1+2x}{x}$ 是无穷大。问：$x$ 应满足什么条件，才能使 $|y|>10^4$？
解答：
$$y=\frac{1+2x}{x}=\frac{1}{x}+2.$$当 $x\to 0$ 时，$\frac{1}{x}$ 为无穷大，因此 $y$ 为无穷大。 要使 $|y|>10^4$，充分条件为
$$\left|\frac{1}{x}+2\right|>10^4.$$注意到当 $x\to 0$ 时主要由 $\frac{1}{x}$ 决定，故可取更简单充分条件：
$$\left|\frac{1}{x}\right|>10^4 \quad\Rightarrow\quad |x|<10^{-4}.$$3 求函数 $f(x)=\frac{1}{4-x^2}$ 的图形的铅垂渐近线
解答： 当分母 $4-x^2=0$ 时函数无定义，即
$$4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 2.$$当 $x\to 2$ 或 $x\to -2$ 时，分母趋于零，函数趋于无穷大，因此铅垂渐近线为
$$x=2,\quad x=-2.$$二、提高题
4 根据函数极限和无穷大的定义，填写表 1.1
第一行：当 $x\to x_{0}^{-}$
$f(x)\to A$：
$$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ x_{0}-\delta < x < x_{0}\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$$f(x)\to +\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ x_{0}-\delta < x < x_{0}\Rightarrow f(x)>M.$$$f(x)\to -\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ x_{0}-\delta < x < x_{0}\Rightarrow f(x)<-M.$$$f(x)\to \infty$：
$$\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ x_{0}-\delta < x < x_{0}\Rightarrow |f(x)|>M.$$第二行：当 $x\to x_{0}^{+}$
$f(x)\to A$：
$$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ x_{0} < x < x_{0}+\delta\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$$f(x)\to +\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ x_{0} < x < x_{0}+\delta\Rightarrow f(x)>M.$$$f(x)\to -\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ x_{0} < x < x_{0}+\delta\Rightarrow f(x)<-M.$$$f(x)\to \infty$：
$$\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ x_{0} < x < x_{0}+\delta\Rightarrow |f(x)|>M.$$第三行：当 $x\to x_{0}$
$f(x)\to A$：
$$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ 0<|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$$f(x)\to +\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ 0<|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow f(x)>M.$$$f(x)\to -\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ 0<|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow f(x)<-M.$$$f(x)\to \infty$：
$$\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ 使\ 0<|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow |f(x)|>M.$$第四行：当 $x\to +\infty$ 时
$f(x)\to A$：
$$\forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ 使\ x>X \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$$f(x)\to +\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists X>0,\ 使\ x>X \Rightarrow f(x)>M.$$$f(x)\to -\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists X>0,\ 使\ x>X \Rightarrow f(x)<-M.$$$f(x)\to \infty$：
$$\forall M>0,\ \exists X>0,\ 使\ x>X \Rightarrow |f(x)|>M.$$第五行：当 $x\to -\infty$ 时
$f(x)\to A$：
$$\forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ 使\ x<-X \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$$f(x)\to +\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists X>0,\ 使\ x<-X \Rightarrow f(x)>M.$$$f(x)\to -\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists X>0,\ 使\ x<-X \Rightarrow f(x)<-M.$$$f(x)\to \infty$：
$$\forall M>0,\ \exists X>0,\ 使\ x<-X \Rightarrow |f(x)|>M.$$第六行：当 $x\to \infty$ 时
$f(x)\to A$：
$$\forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ 使\ x>X \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$$f(x)\to +\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists X>0,\ 使\ x>X \Rightarrow f(x)>M.$$$f(x)\to -\infty$：
$$\forall M>0,\ \exists X>0,\ 使\ x>X \Rightarrow f(x)<-M.$$$f(x)\to \infty$：
$$\forall M>0,\ \exists X>0,\ 使\ x>X \Rightarrow |f(x)|>M.$$5 函数 $f(x)=x\cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是否有界？当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)$ 是否为无穷大？为什么？
解答：
因为 $|\cos x|\le 1$，但 $x$ 在实轴上趋向无穷，因此
$$|f(x)|=|x\cos x|\le |x|.$$随着 $|x|\to\infty$，$|f(x)|$ 不可能被某个常数所界定，因此 $f(x)$ 在整个实数范围上无界。 但注意：
$$x\cos x$$在 $x\to+\infty$ 时不会保持同号，也不会逐渐趋向某个无穷大值，而是在区间 $[-x,x]$ 中振荡，其最大值接近 $x$，最小值接近 $-x$。因此它既不趋于 $+\infty$，也不趋于 $-\infty$，而是“振幅无界的振荡函数”。 即：
$$\lim_{x\to+\infty} x\cos x \text{ 不存在}.$$