第3节 函数的极限
一、基础题
1 对于图1.13所示的函数$y=f(x)$，求下列极限，如果极限不存在，则说明理由
1(1) $\lim_{x\to -2^-}f(x)$
图1.13 中，$x\to -2^-$ 时，函数图像沿左侧线段逼近点 $(-2,1)$，故
$$\lim_{x\to -2^-}f(x)=1.$$1(2) $\lim_{x\to -1}f(x)$
图中 $x=-1$ 左右极限： 左侧由线段趋向 0；右侧为一条水平线 $y=-1$。 故
$$\lim_{x\to -1^-}f(x)=0,\quad \lim_{x\to -1^+}f(x)=-1.$$左右极限不相等，因此
$$\lim_{x\to -1}f(x)\ \text{不存在}.$$1(3) $\lim_{x\to 1}f(x)$
图中 $x=1$ 左右两侧均处在水平线 $y=0$，虽在 $x=1$ 有一个实心点在 $y=1$，但极限只看趋近值，不看函数本身取值。 故
$$\lim_{x\to 1}f(x)=0.$$1(4) $\lim_{x\to 0}f(x)$
图中 $x\to 0$ 左侧函数恒为 0；右侧函数也恒为 0。 故
$$\lim_{x\to 0}f(x)=0.$$2 对于图1.14所示的函数 $y=f(x)$，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？
2(1) $\lim_{x\to 0}f(x)=0$
从图1.14 看，$x\to 0$ 左右极限均趋向实心点在 $y=0$。因此该陈述正确。
2(2) $\lim_{x\to 0}f(x)=1$
实际极限为 0，不是 1，因此该陈述错误。
2(3) $\lim_{x\to 1}f(x)$不存在
图1.14 中 $x\to 1$ 时，左极限趋向 0（左侧线段的实心点），右极限趋向开圆点的纵坐标 1，左右不等，故极限确实不存在。该陈述正确。
2(4) 对每个 $x_0\in(-1,1)$，$\lim_{x\to x_0}f(x)$ 都存在.
区间 $(-1,1)$ 内除了 0、1 的位置，其他点在各自线段上连续；但 $x=0$ 的极限存在；而 $x=1\notin(-1,1)$。因此在 $(-1,1)$ 中所有 $x_0$ 极限都存在。该陈述正确。
3 设 $f(x)=\frac{|x|}{x}=\text{sgn}(x)$，$g(x)=\frac{x}{x}=1$（仅定义在 $x\neq0$）
当 $x\to 0^-$：
$$f(x)=-1,\quad g(x)=1.$$当 $x\to 0^+$：
$$f(x)=1,\quad g(x)=1.$$故
$$\lim_{x\to 0^-}f(x)=-1,\quad \lim_{x\to 0^+}f(x)=1,$$左右极限不等，因此 $f(x)$ 在 0 处极限不存在。 而
$$\lim_{x\to 0}g(x)=1.$$二、提高题
4 利用函数极限的定义证明
4(1) 证明 $\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}{\sqrt{x}}=0$
证明：任给 $\varepsilon>0$，需证明存在 $X>0$，当 $x>X$ 时有
$$\left|\frac{\cos x}{\sqrt{x}}-0\right|<\varepsilon.$$由于 $|\cos x|\le 1$，得
$$\left|\frac{\cos x}{\sqrt{x}}\right|\le \frac{1}{\sqrt{x}}.$$要使
$$\frac{1}{\sqrt{x}}<\varepsilon,$$只需
$$x>\frac{1}{\varepsilon^2}.$$因此取
$$X=\frac{1}{\varepsilon^2},$$当 $x>X$ 时即有
$$\left|\frac{\cos x}{\sqrt{x}}\right|<\varepsilon.$$故极限成立。
4(2) 证明 $\lim_{x\to\infty}\frac{1+x^2}{x^2}=1$
证明：令
$$\frac{1+x^2}{x^2}-1=\frac{1}{x^2}.$$给定任意 $\varepsilon>0$，要求找到 $X>0$，使 $x>X$ 时
$$\left|\frac{1+x^2}{x^2}-1\right|=\frac{1}{x^2}<\varepsilon.$$此即要求
$$x>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.$$于是取
$$X=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}},$$即可保证当 $x>X$ 时有
$$\left|\frac{1+x^2}{x^2}-1\right|<\varepsilon.$$故极限成立。
4(3) 证明 $\lim_{x\to2}(3x-1)=5$
证明：给定任意 $\varepsilon>0$，需找到 $\delta>0$，使
$$0<|x-2|<\delta\quad\Rightarrow\quad |(3x-1)-5|<\varepsilon.$$计算
$$|(3x-1)-5|=|3x-6|=3|x-2|.$$要使
$$3|x-2|<\varepsilon,$$只需
$$|x-2|<\frac{\varepsilon}{3}.$$故取
$$\delta=\frac{\varepsilon}{3},$$即可保证
$$|(3x-1)-5|<\varepsilon.$$极限得证。
4(4) 证明 $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=6$
证明：对 $x\ne3$，有
$$\frac{x^2-9}{x-3}=x+3.$$因此需证明
$$\lim_{x\to 3}(x+3)=6.$$给定任意 $\varepsilon>0$，需找 $\delta>0$，使
$$0<|x-3|<\delta\quad\Rightarrow\quad |(x+3)-6|<\varepsilon.$$因
$$|(x+3)-6|=|x-3|,$$所以只需
$$|x-3|<\varepsilon.$$因此可取
$$\delta=\varepsilon.$$当 $0<|x-3|<\delta$ 时
$$\left|\frac{x^2-9}{x-3}-6\right| =|(x+3)-6| =|x-3| <\varepsilon.$$极限成立。
5 当 $x\to 2$，$y=x^2\to 4$， 要求：$\delta$取何值， 使当 $0<|x-2|<\delta$， $|y-4|<0.001$ ？
$$|y-4|=|x^2-4|=|x-2||x+2|.$$当 $x$ 取足够接近 2 时，可约束 $|x-2|<1$，则 $x\in(1,3)$，故
$$|x+2|<5.$$于是
$$|x^2-4|<5|x-2|<5\delta.$$为使其小于 $0.001$，取
$$5\delta=0.001\quad\Rightarrow\quad \delta=0.0002.$$因此可取
$$\delta=\min\{1,0.0002\}=0.0002.$$6 当 $x\to+\infty$，$y=\frac{x^2-1}{x^2+3}\to 1$ 要求：$X$ 取何值时， 使当 $|x|>X$ 时，$|y-1|<0.01$
计算
$$\left|\frac{x^2-1}{x^2+3}-1\right| =\left|\frac{-4}{x^2+3}\right| =\frac{4}{x^2+3}.$$需
$$\frac{4}{x^2+3}<0.01.$$解得
$$x^2+3>400 \quad\Rightarrow\quad x^2>397 \quad\Rightarrow\quad |x|>\sqrt{397}.$$故可取
$$X \ge \sqrt{397}.$$