第2节 数列的极限
一、基础题
1.下列数列哪些为有界数列？哪些为单调数列？哪些为收敛数列？若是收敛数列，指出它的极限
1(1) {$x_n = 2n+1$}
解答过程：
该数列显然严格递增，且无上界，因此为无界数列，不收敛。
1(2) {$x_n=\frac{1}{3^n}$}
解答过程：
$\frac{1}{3^n}$ 随 $n$ 增大严格递减，且下界为 $0$。为有界单调数列，因此收敛，极限为
$$\lim_{n\to\infty} x_n = 0.$$1(3) {$x_n=\frac{1+(-1)^n}{n}$}
解答过程：
分奇偶讨论： 若 $n$ 为偶数，则 $(-1)^n=1$，$x_n=\frac{2}{n}$； 若 $n$ 为奇数，则 $(-1)^n=-1$，$x_n=\frac{0}{n}=0$。 故数列在 $0$ 与 $\frac{2}{n}$ 之间振荡，有界但不单调。 $\frac{2}{n}\to 0$，奇数项恒为 $0$。故整体极限为
$$\lim_{n\to\infty} x_n = 0.$$1(4) {$x_n=3-\frac{2}{n^2}$}
解答过程：
$\frac{2}{n^2}$ 随 $n$ 增大递减，因此 $x_n$ 递增且有上界 $3$。单调有界，故收敛，极限为
$$\lim_{n\to\infty} x_n = 3.$$1(5) {$x_n=\frac{n-1}{n+1}$}
解答过程：
可写为
$$x_n=1-\frac{2}{n+1}.$$$\frac{2}{n+1}$ 随 $n$ 增大递减，因此 $x_n$ 递增，有上界 $1$。单调有界，因此收敛，极限为
$$\lim_{n\to\infty} x_n = 1.$$1(6) {$x_n=\frac{[(-1)^n+1](n+1)}{n}$}
解答过程：
分奇偶讨论： 若 $n$ 为奇数：$(-1)^n=-1$，故分子为 $0$，即 $x_n=0$。 若 $n$ 为偶数：$(-1)^n=1$，则
$$x_n = \frac{2(n+1)}{n}=2+\frac{2}{n}.$$因此偶数项趋于 $2$，奇数项恒为 $0$。数列不单调，也不收敛（两子列极限不同）。
结论：该数列有界但不收敛。
2 用数列极限的定义证明
$$\lim_{n\to\infty}\frac{3n-2}{2n+1}=\frac{3}{2}.$$解答过程：
令
$$x_n=\frac{3n-2}{2n+1},\quad L=\frac{3}{2}.$$则
$$x_n-L=\frac{3n-2}{2n+1}-\frac{3}{2} =\frac{6n-4-3(2n+1)}{2(2n+1)} =\frac{-7}{2(2n+1)}.$$故
$$|x_n-L|=\frac{7}{4n+2}.$$给定任意 $\varepsilon>0$，只需取
$$n>\frac{7}{2\varepsilon}-\frac12$$即可使
$$|x_n-L|<\varepsilon.$$因此根据定义有
$$\lim_{n\to\infty} x_n=\frac32.$$二、提高题
3 设数列 $\{x_n\}$ 有界，且 $\lim_{n\to\infty} y_n=0$，证明：
$$\lim_{n\to\infty} x_n y_n=0.$$解答过程：
因 $\{x_n\}$ 有界，存在 $M>0$ 使得 $|x_n|\le M$。 给定任意 $\varepsilon>0$，因 $y_n\to 0$，存在 $N$ 使得 $n>N$ 时
$$|y_n|<\frac{\varepsilon}{M}.$$则当 $n>N$ 时
$$|x_n y_n -0|\le |x_n||y_n|\le M\cdot \frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon.$$由此
$$\lim_{n\to\infty} x_n y_n=0.$$4 对于数列 $\{x_n\}$，如果 $x_{2k}\to A(k\to\infty)$, $x_{2k+1}\to A(k\to\infty)$，证明：
$$x_n\to A(n\to\infty).$$解答过程：
给定任意 $\varepsilon>0$，因偶子列与奇子列分别收敛到同一极限 $A$，存在 $N_1,N_2$，使得
$$k>N_1 \Rightarrow |x_{2k}-A|<\varepsilon,$$$$k>N_2 \Rightarrow |x_{2k+1}-A|<\varepsilon.$$令 $N=\max\{2N_1,2N_2+1\}$，则 $n>N$ 时，无论 $n$ 是奇数还是偶数均有
$$|x_n-A|<\varepsilon.$$因此
$$x_n\to A.$$三、考研真题
5 (2015301) 设有数列 $\{x_n\}$，下列命题中不正确的是( )
A. 若 $\lim_{n\to\infty} x_n=a$，则 $\lim_{n\to\infty} x_{2n}=\lim_{n\to\infty} x_{2n+1}=a$
B. 若 $\lim_{n\to\infty} x_{2n}=\lim_{n\to\infty} x_{2n+1}=a$，则 $\lim_{n\to\infty} x_n=a$
C. 若 $\lim_{n\to\infty} x_n=a$, 则 $\lim_{n\to\infty} x_{3n}=\lim_{n\to\infty} x_{3n+1}=a$
D. 若 $\lim_{n\to\infty} x_{3n}= \lim_{n\to\infty} x_{3n+1}=a$，则 $\lim_{n\to\infty} x_n=a$
解答过程：
A：成立，收敛数列任一子列均收敛于同一极限。 C：成立，同理为子列。 B：成立。数列收敛等价于偶数项和奇数项子列收敛。 D：不正确。给出反例：设
$$x_{3n}=a,\quad x_{3n+1}=a,\quad x_{3n+2}=1.$$则两个子列都收敛到 $a$，但整体不收敛。 因此不正确的选项是D.