一、项目名称

高等数学 AI 应用探索项目

二、项目性质

高等数学项目中的 项目式学习模块（Project-Based Learning）

三、学期

2026 年秋季学期

四、项目简介

高等数学是理工科专业最重要的基础课程之一，但由于其理论性强、抽象程度高，初入大学的学生在学习一元微积分时往往难以直观理解极限、导数、积分等概念的现实应用场景，从而影响学习兴趣与理解深度。 随着人工智能技术的发展，AI 大语言模型正在成为科研、工程和产业中的重要工具。本课程项目尝试将 AI 工具引入高等数学上册的学习过程，引导学生借助 AI 平台探索一元微积分在真实世界中的前沿应用。 在本项目中，学生将以小组形式，从高等数学教材（前五章：函数·极限·连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用）中的某一核心知识点出发，通过 AI 调研、案例分析和创意展示，研究该数学知识在不同领域中的应用，如机器学习、计算机图形学、物理仿真、经济金融、信号处理与控制等。 通过本项目，学生不仅能够加深对微积分基础概念的理解，还能够初步掌握 AI 工具在学术研究与工程实践中的使用方法。

五、项目目标

完成本项目后，学生应能够：

1. 理解一元微积分（极限、微分、积分）在工程与科学领域的应用场景
2. 学会使用 AI 工具进行深度资料检索、数学推导理解与知识探索
3. 将抽象的微积分原理与实际算法、物理系统或工程模型建立联系
4. 培养跨学科协作与跨领域思维能力
5. 提升技术表达、多模态内容制作与课堂展示能力

六、项目选题

每个小组需要确定：

• 一个高等数学上册（第 1–5 章）知识点
• 一个实际应用领域（重点鼓励结合 AI、计算机与现代工程） 并研究该知识在该领域中的具体应用。

示例：

七、小组组织

学生以 小组形式完成项目。 小组规模：

• 每个教学班均随机组成 20 个小组
• 3 个行政班组成的教学班：4–5 人一组
• 4 个行政班组成的教学班：5–6 人一组

基本规则：

• 小组成员 不得跨教学班
• 每个选题 在所有小组中不得重复
• 按 先登记先获得 的原则确定选题，以最后编辑时间分先后，填表截止到 2026 年 9 月 24 日
• 表格请见：企业微信打开填表 https://doc.weixin.qq.com/smartsheet/s3_AVMA3Qa1AMgCNNZze0OnCRyO51EI0?scode=AGwApwcnABAE1qi0QZAVMA3Qa1AMg&tab=7o3tD3&viewId=vn1tVl

八、项目成果要求

每个小组需要提交以下成果材料，成果材料提交截止到课堂汇报前。

1 调研记录

至少提交 3 份不同平台 AI 调研对话记录。 要求：

• 每个 AI 平台单独生成一个文件。

• 命名规则：[AI平台]_调研记录.md

• 包含 深度研究 / deep research 类结果

• 使用 Markdown 格式

• 包含以下元素：

• 标题

• 加粗

• 链接

• 引用

• 脚注

• 可使用 AI 平台包括（不限于）： 豆包 / 千问 / DeepSeek / Kimi / 元宝 / 秘塔 / 文心 / 智谱 / Gemini / ChatGPT / Grok / Claude / POE / 其他

2 主题报告

提交一份 研究主题总结报告（Markdown 格式），内容包括：

• 数学概念介绍（严谨表述其数学定义与几何/物理意义）
• 应用领域背景与现实需求说明
• AI 调研过程与核心线索梳理
• 实际应用案例（含算法流程、数学推导或仿真验证）
• 项目总结与反思

主题报告模板（主题报告.md）

下载：主题报告模板.md

[高等数学知识点]在[领域/行业]中的应用探究

一、研究背景

介绍该数学知识点的基本概念，以及其在实际问题中的潜在应用价值。¹

可包含：

• 数学概念简介
• 现实问题背景
• 为什么该数学知识对该领域重要

二、数学原理

介绍本研究涉及的高等数学知识：

• 核心公式
• 数学原理
• 推导逻辑
• 几何或物理意义

示例：

高阶偏导数在多变量函数变化率分析中具有重要意义。²

公式示例：

三、AI 调研结果

通过 AI 大语言模型进行调研得到的主要结论：

1 行业应用

例如：

• 人工智能
• 金融建模
• 流体力学
• 计算机图形学

2 典型案例

说明某一个具体应用案例，例如：

• 神经网络优化
• 图像处理算法
• 自动驾驶路径规划

引用示例：

“偏导数是深度学习反向传播算法的重要数学基础。”³

四、应用机制分析

解释该数学知识在实际应用中的 工作原理：

• 输入变量
• 数学模型
• 输出结果
• 实际意义

示例结构：现实问题 → 数学建模 → 算法计算 → 实际应用

五、AI 辅助研究过程

说明 AI 在研究过程中发挥的作用，例如：

• 文献调研⁴
• 概念解释
• 代码生成
• 图示生成
• 应用案例分析

六、结论

总结本次研究得到的主要认识：

• 该数学知识的重要应用
• AI 对学习高等数学的帮助
• 本次项目的主要收获

七、参考资料

示例：

• 教材
• AI 调研内容
• 学术论文
• 行业报告

示例：

1. 《高等数学》
2. OpenAI / ChatGPT 调研结果
3. DeepSeek AI 研究回答

八、附录

可附加：

• AI 生成的图表
• 数据
• 额外分析

3 技术文档

技术文档需要说明：

• 小组成员及明确分工
• AI 工具协同使用流程
• 使用的大语言模型版本
• 关键提示词（System Prompt / Chain-of-Thought 等技巧）
• 不同 AI 平台针对该数学问题的回答质量对比（准确性、推导能力、代码生成等）

技术文档模板（技术文档.md）

下载：技术文档模板.md

项目技术文档

一、小组成员信息

二、项目分工

详细说明每个成员的具体工作内容：

张三

• 负责 AI 深度调研
• 整理数学原理
• 撰写主题报告

李四

• 使用 AI 工具生成视频
• 制作展示动画

王五

• 制作 PPT
• 汇报展示

三、AI 工具使用流程

说明 AI 在项目中的使用步骤。

示例流程：

选题确定
↓
AI 深度调研
↓
整理数学原理
↓
生成展示材料
↓
制作汇报

四、使用的 AI 工具

五、关键提示词（Prompt）

示例：

调研提示词

请解释高阶偏导数在深度学习中的应用，并给出具体案例。

解释提示词

请用大学生可以理解的方式解释反向传播算法中的梯度计算。

创作提示词

生成一个关于偏导数应用的科普视频脚本。

六、AI 平台结果比较

ChatGPT

优点：

• 解释清晰
• 逻辑性强

缺点：

• 具体案例较少

DeepSeek

优点：

• 数学解释更详细

缺点：

• 语言表达略复杂

Gemini

优点：

• 信息来源较广

缺点：

• 有时内容较泛

七、问题与改进

记录项目中遇到的问题，例如：

• AI 结果不一致
• 数学解释过于复杂
• 视频生成质量不足

以及对应解决方式。

八、项目总结

总结：

• AI 在学习高等数学中的作用
• 不同 AI 工具的特点
• 项目的主要收获

4 展示材料

学生需利用 AI 工具辅助生成展示内容。 数量要求：至少 3 种展示形式

展示形式包括但不限于：

• PPT / 幻灯片
• 学术海报
• 交互网站 / Streamlit 演示 Demo
• Python 代码与动态可视化演示（如 Manim 动画）
• 视频 / 动画
• 播客音频解说
• AI 数字人讲解
• 微信公众号/专栏科普长文
• 其他创意形式

5 汇报录像

小组展示需要 全程录像，并在汇报结束后按时提交至学习平台。

九、项目汇报

每个小组进行一次 课堂展示汇报。

汇报时间

总时长：不超过 15 分钟 建议结构：

要求：

• 小组 全体成员参与
• 每位成员应承担具体的展示与讲解任务

十、成绩评定

分数组成 100 分：基础分（汇报前按规定提交指定文件） 80 分+完成按规定成果数量 10分+脱稿/有感染力汇报5 分+超额完成成果/新颖视角/实践/答辩 5 分。

项目成绩按照以下三个维度评定：

评分来源：

十一、学术责任

学生应对展示内容负责，并确保：

• AI 生成的数学公式与推导已经 经过人工逐行验算与审阅
• 对所使用的微积分原理 具有透彻理解，能够独立回答质辩提问
• 杜绝“幻觉照搬”与机械复制，确保引用的案例与数学模型逻辑闭环 AI 应被视为 学习与研究的高级助手，而不是逃避理解的替代品。

十二、选题示例（高等数学上册，第 1–5 章）

不必局限于以下示例题目，推荐从自身兴趣出发的选题！！

一、第一章 函数、极限与连续（12 个）

1. 数列极限在 PageRank 网页排名算法收敛性分析 中的应用
2. 极限概念在 计算机图形学连续 LOD（细节层次）渲染 中的应用
3. 夹逼定理在 蒙特卡洛算法收敛性界定 中的应用
4. 重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 在 数字信号处理与采样定理（Sinc函数） 中的应用
5. 重要极限 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$ 在 连续复利与量化金融期权定价模型 中的应用
6. 无穷小比较在 算法时间复杂度渐进分析（Big-O） 中的应用
7. 等价无穷小替换在 神经网络损失函数数值稳定性优化 中的应用
8. 零点定理（介值定理）在 机器人碰撞检测与物理穿透判定 中的应用
9. 闭区间连续函数最值定理在 支持向量机（SVM）超平面优化解存在性 中的应用
10. 函数连续性在 智能控制系统传感器连续信号重构 中的应用
11. 间断点类型在 图像边缘跳跃检测与开关电路建模 中的应用
12. 复合函数极限在 深度学习深层特征变换稳定性分析 中的应用

二、第二章 导数与微分（12 个）

1. 导数的瞬时变化率概念在 量化金融高频交易波动率建模 中的应用
2. 复合函数求导法则（链式法则）在 深度神经网络误差反向传播 中的应用
3. 反函数求导法则在 密码学非对称加密函数求逆分析 中的应用
4. 隐函数求导在 计算机辅助几何设计（CAGD）隐式曲线切线计算 中的应用
5. 高阶导数在 自动驾驶汽车轨迹规划与加速度平滑（Jerk 最小化） 中的应用
6. 微分概念在 有限元分析与结构应变近似计算 中的应用
7. 微分在线性近似中的应用与 现代计算机图形渲染光栅化
8. 参数方程求导在 智能数控机床刀具加工轨迹控制 中的应用
9. 导数几何意义在 三维计算机视觉法向量估计 中的应用
10. 对数求导法在 贝叶斯极大似然估计梯度推导 中的应用
11. 导数在 经济学边际成本与边际收益最大化决策 中的应用
12. 微分误差估计在 无人机 GPS 定位测量精度分析 中的应用

三、第三章 微分中值定理与导数的应用（12 个）

1. 罗尔定理与拉格朗日中值定理在 数值计算插值误差界定 中的应用
2. 柯西中值定理与洛必达法则在 网络拥塞控制算法极限速率分析 中的应用
3. 泰勒公式与麦克劳林展开在 深度学习 GELU/Sigmoid 激活函数快速近似 中的应用
4. 麦克劳林公式在 微处理器浮点运算单元（FPU）硬件逼近 中的应用
5. 函数单调性判别在 强化学习价值函数策略单调改进保证 中的应用
6. 函数极值与最值方法在 供应链智能仓储配货路径最优化 中的应用
7. 曲线凹凸性在 凸优化理论与机器学习全局收敛证明 中的应用
8. 拐点分析在 AI 疫情传播趋势突变预警与拐点预测 中的应用
9. 渐近线在 机器学习模型长程行为与稳定性分析 中的应用
10. 弧微分与曲率在 无人车弯道自适应巡航（ACC）速度控制 中的应用
11. 曲率半径在 高速铁路轨道缓和曲线工程设计 中的应用
12. 泰勒展开在 物理引擎牛顿动力学数值仿真（Verlet 积分法） 中的应用

四、第四章 不定积分（12 个）

1. 原函数与不定积分在 物理引擎质点运动学逆问题反演 中的应用
2. 换元积分法在 声学信号滤波频域传递函数计算 中的应用
3. 分部积分法在 统计物理玻尔兹曼分布期望推导 中的应用
4. 有理函数积分在 模拟电路滤波器极零点响应解析解 中的应用
5. 三角函数有理式积分在 机械臂回转关节机构动力学积分 中的应用
6. 不定积分在 药物代谢动力学（血药浓度模型） 中的应用
7. 符号积分与不定积分在 计算机代数系统（如 SymPy、Mathematica）底层算法 中的应用
8. 分部积分法在 期权定价偏微分方程降维转化 中的应用
9. 换元积分在 三维激光雷达点云坐标积分变换 中的应用
10. 不定积分在 水文地质地下水渗流场势函数反推 中的应用
11. 特殊函数积分在 天体物理引力势场理论计算 中的应用
12. 原函数族常数项确定在 现代控制系统初始状态标定 中的应用

五、第五章 定积分及其应用（12 个）

1. 定积分定义（黎曼和）在 计算机图形学光线追踪环境光遮蔽（AO）积分 中的应用
2. 微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）在 AI 强化学习累积奖励计算 中的应用
3. 定积分微元法（元素法）在 大型结构物受力与应变能仿真 中的应用
4. 旋转体体积与侧面积计算在 AI 辅助工业 CAD 建模与轻量化设计 中的应用
5. 平面图形面积与质心计算在 智能仓储机器人搬运防倾翻重心平衡控制 中的应用
6. 变力做功定积分在 航天火箭轨道发射推力与能量消耗模型 中的应用
7. 水压力与引力积分在 大型水坝与深海潜水器安全仿真分析 中的应用
8. 广义积分在 连续概率分布（高斯正态分布）归一化计算 中的应用
9. 广义积分敛散性在 金融工程永久年金与贴现折现模型 中的应用
10. 伽马函数（广义积分）在 高维空间数据分析与贝叶斯推断 中的应用
11. 定积分均值在 传感器阵列连续空间平均温度/污染场提取 中的应用
12. 定积分在 医疗 CT 断层扫描辐射吸收累积剂量评估 中的应用