基于AI的高等数学知识在多领域应用探究
Image credit:一、项目名称
高等数学 AI 应用探索项目
二、项目性质
高等数学项目中的 项目式学习模块（Project-Based Learning）
三、学期
2026 年春季学期
四、项目简介
高等数学是理工科专业最重要的基础课程之一，但由于其理论性强、抽象程度高，学生在学习过程中往往难以直观理解其现实应用场景，从而影响学习兴趣和学习效果。
随着人工智能技术的发展，AI 大语言模型正在成为科研、工程和产业中的重要工具。本课程项目尝试将 AI 工具引入高等数学学习过程，引导学生借助 AI 平台探索数学知识在真实世界中的应用。
在本项目中，学生将以小组形式，从高等数学教材中的某一知识点出发，通过 AI 调研、案例分析和创意展示，研究该数学知识在不同领域中的应用，如人工智能、工程技术、金融建模、物理系统、数据科学等。
通过本项目，学生不仅能够加深对数学知识的理解，还能够初步掌握 AI 工具在学习和研究中的使用方法。
五、项目目标
完成本项目后，学生应能够：
- 理解高等数学知识在现实世界中的应用场景
- 学会使用 AI 工具进行资料检索与知识探索
- 将数学原理与实际问题建立联系
- 培养跨学科思维能力
- 提升技术表达与展示能力
六、项目选题
每个小组需要确定：
- 一个高等数学知识点
- 一个实际应用领域
并研究该知识在该领域中的具体应用。
示例：
| 高等数学知识 | 应用领域 |
|---|---|
| 偏导数 | 深度学习优化 |
| 积分 | 物理能量计算 |
| 微分方程 | 人口增长模型 |
| 梯度 | 神经网络训练 |
| 极值问题 | 工程优化 |
七、小组组织
学生以 小组形式完成项目。
小组规模：
- 每个教学班均组成 20 个小组
- 3 个行政班组成的教学班：4–5 人一组
- 4 个行政班组成的教学班：5–6 人一组
基本规则：
- 小组成员 不得跨教学班
- 每个选题 在所有小组中不得重复
- 按 先登记先获得 的原则确定选题
表格请见：https://doc.weixin.qq.com/smartsheet/s3_AVMA3Qa1AMgCN4AdC5vi2QnCwV7OH?scode=AGwApwcnABApXJvjySAVMA3Qa1AMg&tab=q979lj&viewId=vukaF8
填写请见：https://doc.weixin.qq.com/smartsheet/form/1_wpbKcnEAAAtLH3h6EEPUqLWAIujNlLKQ_1693ea
八、项目成果要求
每个小组需要提交以下成果材料：
1 调研记录
至少提交 3 份不同平台 AI 调研对话记录。
要求：
每个 AI 平台单独生成一个文件。
命名规则：[AI平台]_调研记录.md
包含 深度研究 / deep research 类结果
使用 Markdown 格式 ,参考语法说明 https://publish.obsidian.md/help-zh/编辑与格式化/基本格式语法
包含以下元素：
- 标题
- 加粗
- 链接
- 引用
- 脚注
可使用 AI 平台包括（不限于）：
豆包 / 千问 / DeepSeek / Kimi / 元宝 / 秘塔 / 文心 / 智谱 / Gemini / ChatGPT / Grok / Claude / POE / 其他
2 主题报告
提交一份 研究主题总结报告，内容包括：
- 数学概念介绍
- 应用领域说明
- AI 调研结果
- 实际应用案例
- 项目结论
主题报告模板（主题报告.md）
下载：主题报告模板.md
[高等数学知识点]在[领域/行业]中的应用探究
一、研究背景
介绍该数学知识点的基本概念，以及其在实际问题中的潜在应用价值。1
可包含：
- 数学概念简介
- 现实问题背景
- 为什么该数学知识对该领域重要
二、数学原理
介绍本研究涉及的高等数学知识：
- 核心公式
- 数学原理
- 推导逻辑
- 几何或物理意义
示例：
高阶偏导数在多变量函数变化率分析中具有重要意义。2
公式示例：
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} $$三、AI 调研结果
通过 AI 大语言模型进行调研得到的主要结论：
1 行业应用
例如：
- 人工智能
- 金融建模
- 流体力学
- 计算机图形学
2 典型案例
说明某一个具体应用案例，例如：
- 神经网络优化
- 图像处理算法
- 自动驾驶路径规划
引用示例：
“偏导数是深度学习反向传播算法的重要数学基础。”3
四、应用机制分析
解释该数学知识在实际应用中的 工作原理：
- 输入变量
- 数学模型
- 输出结果
- 实际意义
示例结构：现实问题 → 数学建模 → 算法计算 → 实际应用
五、AI 辅助研究过程
说明 AI 在研究过程中发挥的作用，例如：
- 文献调研4
- 概念解释
- 代码生成
- 图示生成
- 应用案例分析
六、结论
总结本次研究得到的主要认识：
- 该数学知识的重要应用
- AI 对学习高等数学的帮助
- 本次项目的主要收获
七、参考资料
示例：
- 教材
- AI 调研内容
- 学术论文
- 行业报告
示例：
- 《高等数学》
- OpenAI / ChatGPT 调研结果
- DeepSeek AI 研究回答
八、附录
可附加：
- AI 生成的图表
- 数据
- 额外分析
3 技术文档
技术文档需要说明：
- 小组成员及分工
- AI 工具使用流程
- 使用的大语言模型
- 关键提示词（Prompt）
- 不同 AI 平台结果比较
技术文档模板（技术文档.md）
下载：技术文档模板.md
项目技术文档
一、小组成员信息
| 姓名 | 班级 | 职责 |
|---|---|---|
| 张三 | XXX | AI 调研 |
| 李四 | XXX | 视频制作 |
| 王五 | XXX | PPT |
| 赵六 | XXX | 技术整理 |
二、项目分工
详细说明每个成员的具体工作内容：
张三
- 负责 AI 深度调研
- 整理数学原理
- 撰写主题报告
李四
- 使用 AI 工具生成视频
- 制作展示动画
王五
- 制作 PPT
- 汇报展示
三、AI 工具使用流程
说明 AI 在项目中的使用步骤。
示例流程：
选题确定
↓
AI 深度调研
↓
整理数学原理
↓
生成展示材料
↓
制作汇报
四、使用的 AI 工具
| 工具 | 用途 |
|---|---|
| ChatGPT | 深度研究 |
| DeepSeek | 技术解释 |
| Kimi | 文献整理 |
| Midjourney | 图片生成 |
| Runway | 视频生成 |
五、关键提示词（Prompt）
示例：
调研提示词
请解释高阶偏导数在深度学习中的应用，并给出具体案例。
解释提示词
请用大学生可以理解的方式解释反向传播算法中的梯度计算。
创作提示词
生成一个关于偏导数应用的科普视频脚本。
六、AI 平台结果比较
ChatGPT
优点：
- 解释清晰
- 逻辑性强
缺点：
- 具体案例较少
DeepSeek
优点：
- 数学解释更详细
缺点：
- 语言表达略复杂
Gemini
优点：
- 信息来源较广
缺点：
- 有时内容较泛
七、问题与改进
记录项目中遇到的问题，例如：
- AI 结果不一致
- 数学解释过于复杂
- 视频生成质量不足
以及对应解决方式。
八、项目总结
总结：
- AI 在学习高等数学中的作用
- 不同 AI 工具的特点
- 项目的主要收获
4 展示材料
学生需利用 AI 工具生成展示内容。
数量要求：
- 3–4 人小组：至少 2 种展示形式
- 5–6 人小组：至少 3 种展示形式
展示形式包括但不限于：
- PPT
- 学术海报
- 交互网站
- 程序或软件
- 动画
- 视频
- 播客
- AI 数字人
- AI 智能体
- 公众号文章
- 其他创意形式
5 汇报录像
小组展示需要 全程录像，并在课后提交至学习平台。
九、项目汇报
每个小组进行一次 课堂展示汇报。
汇报时间
总时长：不超过 15 分钟
建议结构：
| 内容 | 时间 |
|---|---|
| 项目介绍 | 2 分钟 |
| 成果展示 | 10 分钟 |
| 提问答辩 | 2–3 分钟 |
要求：
- 小组 全体成员参与
- 每位成员应承担部分展示内容
十、成绩评定
项目成绩按照以下三个维度评定：
| 评价指标 | 比例 |
|---|---|
| 完成度 / 完整度 | 40% |
| 创新性 / 新颖性 | 30% |
| 复杂性 / 工作量 | 30% |
评分来源：
| 评价主体 | 比例 |
|---|---|
| 教师评分 | 60% |
| 小组互评 | 40% |
十一、学术责任
学生应对展示内容负责，并确保：
- AI 生成内容已经 经过人工审阅
- 对所使用的数学知识 具有基本理解
- 不得直接照搬 AI 内容而缺乏理解
AI 应被视为 学习工具与辅助工具，而不是替代学习的手段。
十二、选题示例
一、第六章 微分方程（12 个）
- 一阶常微分方程在 神经网络训练动态建模 中的应用
- Logistic 微分方程在 AI 人口预测模型 中的应用
- 微分方程在 传染病传播 AI 预测模型 中的应用
- 二阶微分方程在 自动驾驶车辆运动控制 中的应用
- 微分方程在 强化学习环境动力学建模 中的应用
- 微分方程在 智能机器人运动轨迹规划 中的应用
- 微分方程在 气候变化 AI 预测模型 中的应用
- 微分方程在 电路系统智能仿真 中的应用
- 微分方程在 深度学习 Neural ODE 模型 中的应用
- 微分方程在 智能交通流量预测 中的应用
- 微分方程在 金融市场动态预测模型 中的应用
- 微分方程在 AI 流体模拟与气象预测 中的应用
二、第七章 空间解析几何与向量代数（12 个）
- 向量内积在 推荐系统相似度计算 中的应用
- 向量空间在 大语言模型词向量表示 中的应用
- 向量夹角在 语义相似度计算 中的应用
- 三维空间向量在 无人机导航系统 中的应用
- 向量叉积在 计算机图形学光照模型 中的应用
- 空间直线方程在 机器人路径规划 中的应用
- 空间平面方程在 3D 场景建模 中的应用
- 向量投影在 机器学习特征降维 中的应用
- 向量代数在 搜索引擎向量检索（Vector Search） 中的应用
- 向量空间在 图像识别特征表示 中的应用
- 三维几何在 AR/VR 空间定位技术 中的应用
- 空间距离计算在 自动驾驶障碍物检测 中的应用
三、第八章 多元函数微分法（12 个）
- 偏导数在 深度学习反向传播算法 中的应用
- 梯度在 神经网络参数优化 中的应用
- 梯度下降法在 机器学习模型训练 中的应用
- 多元函数极值在 工程优化问题 中的应用
- 偏导数在 图像边缘检测算法 中的应用
- Hessian 矩阵在 AI 模型优化算法 中的应用
- 梯度在 强化学习策略优化 中的应用
- 多元函数极值在 智能物流路径优化 中的应用
- 偏导数在 物理仿真系统建模 中的应用
- 梯度场在 机器人导航系统 中的应用
- 多元函数微分在 经济预测模型 中的应用
- 梯度优化在 生成式 AI 模型训练 中的应用
四、第九章 重积分（12 个）
- 二重积分在 图像像素密度计算 中的应用
- 二重积分在 计算机图形学光照渲染 中的应用
- 三重积分在 三维物体体积计算 中的应用
- 三重积分在 医学 CT 图像重建 中的应用
- 重积分在 气象数据空间统计 中的应用
- 重积分在 智能城市空气污染分布分析 中的应用
- 重积分在 地理信息系统（GIS）空间分析 中的应用
- 重积分在 无人机航测数据建模 中的应用
- 二重积分在 图像亮度统计模型 中的应用
- 三重积分在 3D 打印材料体积计算 中的应用
- 重积分在 海洋温度场建模 中的应用
- 重积分在 数字地球环境模拟 中的应用
五、第十一章 无穷级数（12 个）
- 泰勒级数在 神经网络函数近似 中的应用
- 傅里叶级数在 语音识别技术 中的应用
- 傅里叶级数在 图像压缩算法 中的应用
- 无穷级数在 AI 数值计算算法 中的应用
- 幂级数在 机器学习函数逼近 中的应用
- 泰勒展开在 物理模拟计算 中的应用
- 傅里叶级数在 医学影像重建 中的应用
- 傅里叶级数在 音乐信号分析 中的应用
- 无穷级数在 金融时间序列预测 中的应用
- 幂级数在 概率分布近似计算 中的应用
- 傅里叶级数在 视频信号处理 中的应用
- 泰勒级数在 AI 模型函数近似理论 中的应用
